Der Varianzrechner misst, wie weit Werte in einem Datensatz von ihrem Mittelwert in quadratischen Einheiten entfernt sind, und gibt je nach Darstellung der Daten entweder die Stichprobenvarianz oder die Populationsvarianz zurück. Fügen Sie Werte ein, die durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennt sind, und der Rechner liefert die Varianz zusammen mit der Summe der Quadrate, dem Mittelwert und einer Stufentabelle jeder quadratischen Abweichung.
Varianz ist die Größe unter der Quadratwurzel in einer Standardabweichung. Die meisten Kursarbeiten verlangen das eine oder das andere, und sowohl das quadratische Einheitsergebnis als auch die daraus resultierenden Schritte zu zeigen, macht eine Handprüfung möglich.
Berechnung der Varianz aus einem Datensatz
Die Varianz beantwortet eine einzige Frage: Wie weit streuen sich diese Werte um ihren Mittelwert herum, gemessen in quadratischen Einheiten? Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Punkte eng gruppieren. Eine große bedeutet, dass sie gestreut sind. Zwei Mengen können denselben Mittelwert teilen und trotzdem völlig unterschiedliche Situationen beschreiben, sobald ihre Varianzen unterschiedlich sind.
Füge Werte in das Datenfeld ein. Kommas, Leerzeichen, Tabulaturen und Zeilenumbrüche funktionieren alle, daher muss eine aus einer Tabelle kopierte Spalte nicht neu formatiert werden. Der Taschenrechner zeigt an, wie viele Werte er unter dem Feld gelesen hat. Vergleiche diese Zählung mit dem, was du eingefügt hast, bevor du dem Ergebnis vertraust, denn ein abweichendes Zeichen ist normalerweise die Ursache für eine falsche Antwort.
Wählen Sie vor dem Lesen der Zahl die Stichprobe oder Population. Diese Wahl verändert den Nenner und bei kleinen Mengen die Antwort selbst.
Wende die Varianzformel an
Beide Formeln teilen sich die ersten drei Schritte und divergern nur, wenn die Summe der Quadrate geteilt wird. Finde den Mittelwert, subtrahiere ihn von jedem Wert, quadriere diese Abweichungen und teile dann durch N für eine Population oder durch n minus 1 für eine Stichprobe.
Der Quotient ist die Varianz in quadratischen Einheiten; der Standardabweichungsrechner nimmt die Quadratwurzel als einen weiteren Schritt.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)Daran arbeiten:
1. Finde den Mittelwert. Addiere jeden Wert und teile durch die Zahl. 2. Finde jede Abweichung. Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert. Einige sind negativ. 3. Quadrat jede Abweichung. Negative verschwinden. Die Summe der Spalten ist die Summe der Quadrate (SS). 4. Teilen. Durch N für eine Population, durch n − 1 für eine Stichprobe. Dieser Quotient ist die Varianz.
Der Standardabweichungsrechner macht noch einen weiteren Schritt: die Quadratwurzel. Die Varianz endet bei Schritt 4, weshalb ihre Einheiten quadriert sind. Für die Wahl von Stichprobe versus Population und Bessels Korrektur siehe diese Seite; diese Seite besitzt die Summen-von-Quadrat-Mechanik.
Lies die Summe der Quadrate ab
Die Summe der Quadrate ist die Summe jeder quadratischen Abweichung vom Mittelwert und des Zählers beider Varianzformeln. Rohe Abweichungen vor dem Quadrieren summieren sich immer zu null, wenn der Mittelwert aus denselben Werten stammt, was eine schnelle arithmetische Prüfung darstellt. Die Summe der Quadrate selbst ist niemals negativ und entspricht nur dann null, wenn jeder Wert dem Mittelwert entspricht.
SS = Σ(x − x̄)²Zwei Eigenschaften sind in der Praxis wichtig. Erstens summieren sich die rohen Abweichungen (vor dem Quadrieren) immer zu null, wenn der Mittelwert aus denselben Werten berechnet wird. Diese Spaltensumme ist eine schnelle arithmetische Prüfung. Zweitens ist SS selbst niemals negativ, da jeder Term ein Quadrat ist. SS ist nur dann null, wenn jeder Wert dem Mittelwert entspricht.
Bei großen Größendaten bevorzugt man die hier gezeigte Zwei-Durchgäng-Methode (zuerst Mittelwert, dann Abweichungen) gegenüber der Ein-Durchgäng-Abkürzung Σx² − (Σx)²/n. Die Abkürzung hebt katastrophal auf, wenn die Werte groß und nahezu gleich sind, was eher ein bekannter numerischer Ausfallmodus als eine theoretische Kuriosität ist.
Verstehen Sie, warum Abweichungen quadriert werden
Ohne Quadrieren heben positive und negative Abweichungen auf. Eine Menge, die drei Einheiten über dem Mittelwert auf der Hälfte ihrer Punkte und drei darunter auf der anderen Hälfte liegt, würde eine Gesamtabweichung von null melden, was darauf hindeutet, dass es überhaupt keine Streuung gibt.
Absolute Werte würden auch die Aufhebung stoppen, und die mittlere absolute Abweichung ist eine reale alternative Messgröße. Quadrierung wird in der klassischen Statistik aus zwei praktischen Gründen bevorzugt. Sie bestraft große Abweichungen stärker als kleine: Ein Komma drei Einheiten vom Mittelwert trägt neunmal so viel bei wie ein Komma eineins. Und quadratische Funktionen sind differenzierbar, was die Varianz zur Grundlage für die kleinste Quadrat-Regression und viele inferentielle Methoden macht.
Dieser Nachteil ist auch der Grund, warum Varianz (und Standardabweichung) stark auf Ausreißer reagieren. Eine extreme Beobachtung kann SS dominieren. Ein Box-Plot oder ein Blick auf die Rohwerte sollte neben jeder Varianz stehen, die du melden willst.
Berechnen Sie die Varianz für 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11
Diese achtwertige Menge liefert eine Populationsvarianz von genau 4 und eine Stichprobenvarianz von 4.571. Jeder folgende Schritt kann von Hand überprüft werden. (Ein anderer Datensatz als das funktionierende Beispiel des Standardabweichungsrechners, sodass die beiden Seiten nicht denselben Walkthrough duplizieren.)
1. Finde das Mittel. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2. Finde jede Abweichung und quadriere sie.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Teilen.
Bevölkerung: 32 ÷ 8 = 4 Beispiel: 32 ÷ 7 = 4.571
Die Abweichungen summieren sich zu null, wie sie müssen. Der Wert 11 trägt allein 16 zum Gesamtwert von 32 bei, also die Hälfte der Summe von Quadraten aus einer Beobachtung von acht. Das ist die Quadrierungsstrafe in einer einzelnen Zeile.
Verstehen Sie die Varianseinheiten
Die Varianz wird in quadratischen Einheiten der ursprünglichen Daten ausgedrückt. Wenn die Messungen von 100 markiert sind, liegt die Varianz in quadratischen Markierungen vor. Wenn sie Zentimeter sind, liegt die Varianz in Quadratzentimetern vor. Diese Einheiten können nicht direkt mit einer einzelnen Beobachtung verglichen werden, weshalb Praktiker meist die Standardabweichung berichten.
Die Quadratwurzel nimmt das Einheitsproblem rückgängig:
σ = √σ² and s = √s²Für das ausgearbeitete Beispiel gilt: √4 = 2 und √4.571 ≈ 2.138. Gleicher Spread, unterschiedliche Verpackung. Verwenden Sie Varianz, wenn eine Formel danach fragt (ANOVA, viele Regressionsausgaben, einige Finanzmodelle). Verwenden Sie Standardabweichung, wenn Sie eine Zahl benötigen, die ein Leser neben die Rohmessungen platzieren kann.
Varianz in späteren Formeln
ANOVA, viele Regressionsausgaben und einige Risikomodelle verbrauchen Varianz direkt statt Standardabweichung. Wenn eine Formel Sigma-Quadrat schreibt, lässt man das Ergebnis in quadrierten Einheiten stehen. Wenn ein Bericht eine Zahl benötigt, die ein Leser mit Rohmessungen vergleichen kann, nehmen Sie die Quadratwurzel und geben Sie an, dass Sie Standardabweichungen melden.
Das Verknüpfen der beiden Seiten vermeidet hier bewusst eine Duplikatisierung von Bessels Korrektur. Stichprobe versus Population ist für die Varianz weiterhin wichtig; der Interpretationsabschnitt im Standard Deviation Calculator bleibt die tiefere Behandlung dessen, warum n minus 1 erscheint.
Häufig gestellte Fragen
Was ist Varianz?
Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert. Die Populationsvarianz teilt die Summe der Quadrate durch N; die Stichprobenvarianz teilt durch n − 1. Das Ergebnis liegt in quadratischen Einheiten der ursprünglichen Daten vor, sodass eine Varianz von 4 auf einer in Zentimetern gemessenen Menge eine Streuung von 4 Quadratzentimeter bedeutet, nicht 4 Zentimeter.
Sollte ich die Stichproben- oder Populationsvarianz verwenden?
Verwenden Sie die Populationsvarianz, wenn die Daten jedes Mitglied der von Ihnen beschriebenen Gruppe abdecken, und teilen Sie durch N. Verwenden Sie die Stichprobenvarianz, wenn die Daten eine Teilmenge einer größeren Gruppe darstellen, und teilen Sie durch n − 1. Die Stichprobe ist in der Praxis üblich. Lehrbuchfragen nennen fast immer, welche Form sie wollen.
Wie unterscheidet sich die Varianz von der Standardabweichung?
Die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung; die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel. Beide beschreiben die gleiche Streuung. Die Standardabweichung kehrt zu den ursprünglichen Einheiten zurück und ist die Zahl, die die meisten Menschen angeben. Die Varianz bleibt in quadratischen Einheiten und erscheint in anderen Formeln.
Warum sind die Abweichungen quadriert?
Ohne Quadrieren heben positive und negative Abweichungen auf, und eine Streumenge kann so aussehen, als hätte sie keine Streuung. Quadrieren entfernt das Vorzeichen, gewichtet große Abweichungen stärker und erzeugt eine Größe, die in späteren Formeln wie Regression und ANOVA sauber funktioniert.
Kann die Varianz negativ sein?
Nein. Die Varianz ist ein Durchschnitt von Quadraten, daher kann sie nicht unter null fallen. Sie ist nur dann null, wenn jeder Wert in der Menge identisch ist. Ein negatives Ergebnis bedeutet einen rechentechnischen Fehler, meist ein Vorzeichenfehler vor dem Quadrieren.
Was ist die Summe der Quadrate?
Die Summe der Quadrate (SS) ist Σ(x − x̄)², die Summe jeder quadrierten Abweichung vom Mittelwert. Sie ist der Zähler beider Varianzformeln. Im oben ausgearbeiteten Beispiel gilt SS = 32.
Warum teilt sich die Stichprobenvarianz durch n − 1?
Da der Stichprobenmittelwert aus denselben Werten geschätzt wird, ist jede Abweichung systematisch etwas zu klein. Das Teilen durch n würde die Populationsvarianz unterschätzen. Das Teilen durch n − 1 (Bessels Korrektur) kompensiert. Der Standardabweichungsrechner behandelt diese Korrektur ausführlicher.
Wie berechne ich die Varianz in Excel?
Verwenden Sie =VAR.S(range) als Stichprobe und =VAR.P(range) für eine Population. Der ältere =VAR() verhält sich wie VAR.S. Bestätige, welche Form deine Zuweisung erwartet, da die beiden bei kleinen Datensätzen unterschiedlich sind.
Bedeutet eine größere Varianz immer einen schlechteren Datensatz?
Nicht allein. Die Varianz trägt quadratische Einheiten und muss gegen die Skala der Daten abgelesen werden. Eine Varianz von 4 bei Werten nahe 7 ist erheblich; die gleiche Varianz bei Werten nahe 700 ist trivial. Vergleichen Sie mit dem Mittelwert oder wechseln Sie zum Variationskoeffizienten des Standardabweichungsrechners, bevor Sie "gut" oder "schlecht" beurteilen.
Zusammenfassung
Der Varianzrechner liefert Stichproben- oder Populationsvarianz aus jedem eingefügten Datensatz zurück, mit der Summe der Quadrate, dem Mittelwert und einer vollständigen Abweichungstabelle. Beide Formeln quadrieren jede Abweichung vom Mittelwert und Division; sie unterscheiden sich nur darin, dass sie durch n − 1 für eine Stichprobe oder N für eine Population teilen.
Die Varianz existiert in quadratischen Einheiten, weshalb die Quadratwurzel (Standardabweichung) üblicherweise zur Interpretation angegeben wird. Verwenden Sie diese Seite für die Sum-der-Quadrat-Arbeit; verwenden Sie den Standardabweichungsrechner, wenn die Frage nach Streuung in den ursprünglichen Einheiten oder nach Bessels Korrektur in der Tiefe fragt.