La Calculadora de Varianza mide cuánto se sitúan los valores de un conjunto de datos respecto a su media en unidades al cuadrado, devolviendo ya sea la varianza muestral o la varianza poblacional según lo que representen los datos. Pega valores separados por comas, espacios o saltos de línea, y la calculadora devuelve la varianza junto con la suma de cuadrados, la media y una tabla escalonada de cada desviación al cuadrado.
La varianza es la cantidad bajo la raíz cuadrada en una desviación estándar. La mayoría de los trabajos de curso piden una u otra, y mostrar tanto el resultado de la unidad cuadrática como los pasos que lo produjeron es lo que hace posible una comprobación manual.
Calcular la varianza a partir de un conjunto de datos
La varianza responde a una sola pregunta: ¿hasta qué punto se dispersan estos valores alrededor de su media, medidos en unidades al cuadrado? Una varianza pequeña significa que los puntos se agrupan muy estrechamente. Una varianza grande significa que se dispersan. Dos conjuntos pueden compartir la misma media y aun así describir situaciones completamente diferentes una vez que sus varianzas difieren.
Pega valores en el campo de datos. Comas, espacios, tabulaciones y saltos de línea funcionan, así que una columna copiada de una hoja de cálculo no necesita reformateo. La calculadora informa cuántos valores lee debajo del campo. Comprueba que cuentan con lo que has pegado antes de confiar en el resultado, porque un carácter suelto suele ser la causa de una respuesta incorrecta.
Elige muestra o población antes de leer el número. Esa elección cambia el denominador y, en conjuntos pequeños, la respuesta en sí.
Aplicar la fórmula de varianza
Ambas fórmulas comparten los tres primeros pasos y solo divergen cuando se divide la suma de cuadrados. Encuentra la media, réstala de cada valor, cuadra esas desviaciones y luego divide por N para una población o por n menos 1 para una muestra.
El cociente es la varianza en unidades al cuadrado; la Calculadora de Desviación Estándar toma la raíz cuadrada como un paso adicional.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)Trabajando en ello:
1. Encuentra la media. Suma cada valor y divide entre el conteo. 2. Encuentra cada desviación. Resta la media de cada valor. Algunos son negativos. 3. Cuadra cada desviación. Los negativos desaparecen. El total de la columna es la suma de cuadrados (SS). 4. Divide. Por N para una población, por n − 1 para una muestra. Ese cociente es la varianza.
La calculadora de desviación estándar da un paso más: la raíz cuadrada. La varianza se detiene en el paso 4, por lo que sus unidades están al cuadrado. Para la elección muestra-población y la corrección de Bessel, véase esa página; esta página es propietaria de la mecánica de suma de cuadrados.
Lee la suma de cuadrados
La suma de cuadrados es la suma de cada desviación al cuadrado respecto a la media y al numerador de ambas fórmulas de varianza. Las desviaciones brutas antes de cuadrar siempre suman cero cuando la media proviene de los mismos valores, lo que es una comprobación rápida de cálculo. La suma de cuadrados en sí nunca es negativa y solo es cero cuando cada valor es igual a la media.
SS = Σ(x − x̄)²En la práctica, dos propiedades importan. Primero, las desviaciones brutas (antes de cuadrar) siempre suman cero cuando la media se calcula a partir de los mismos valores. Ese total en columna es una comprobación rápida de la aritmética. Segundo, SS en sí nunca es negativo, porque cada término es un cuadrado. SS es igual a cero solo cuando cada valor es igual a la media.
En datos de gran magnitud, se prefiere el método de dos pasadas mostrado aquí (primero la media, luego las desviaciones) sobre el atajo de un solo paso Σx² − (Σx)²/n. El atajo se cancela catastróficamente cuando los valores son grandes y casi iguales, lo que es un modo numérico de fallo conocido más que una curiosidad teórica.
Entiende por qué las desviaciones están al cuadrado
Sin cuadrado, las desviaciones positivas y negativas se cancelan. Un conjunto que se sitúa tres unidades por encima de la media en la mitad de sus puntos y tres por debajo de la otra mitad reportaría una desviación total de cero, lo que pretende que no hay ningún spread.
Los valores absolutos también detienen la cancelación, y la desviación absoluta media es una medida alternativa real. Se prefiere el cuadrado en estadística clásica por dos razones prácticas. Penaliza las desviaciones grandes más fuertemente que las pequeñas: un punto tres unidades de la media contribuye nueve veces más que un punto a una unidad de distancia. Y las funciones al cuadrado son diferenciables, lo que convierte la varianza en la base de la regresión de mínimos cuadrados y de muchos métodos inferenciales.
Esa penalización es también la razón por la que la varianza (y la desviación estándar) reaccionan fuertemente a los valores atípicos. Una observación extrema puede dominar la SS. Un diagrama de caja o una mirada a los valores brutos debería situarse junto a cualquier varianza que planees reportar.
Calcular la varianza para 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11
Este conjunto de ocho valores da una varianza poblacional exactamente de 4 y una varianza muestral de 4.571. Cada paso inferior puede comprobarse manualmente. (Un conjunto de datos diferente del ejemplo funcionado de la Calculadora de Desviación Estándar, por lo que las dos páginas no duplican el mismo recorrido.)
1. Encuentra la mediodía. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2. Encuentra cada desviación y cuadrala en cuadrado.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Dividir.
Población: 32 ÷ 8 = 4 Ejemplo: 32 ÷ 7 = 4.571
Las desviaciones suman cero, como deben ser. El valor 11 por sí solo contribuye 16 del total 32, la mitad de la suma de cuadrados de una observación de ocho. Esa es la penalización por cuadrar en una sola fila.
Comprender las unidades de varianza
La varianza se expresa en unidades al cuadrado de los datos originales. Si las mediciones son marcas fuera de 100, la varianza está en marcas al cuadrado. Si son centímetros, la varianza está en centímetros cuadrados. Esas unidades no pueden compararse directamente con una sola observación, por lo que los profesionales suelen informar de la desviación estándar.
Tomar la raíz cuadrada deshace el problema de la unidad:
σ = √σ² and s = √s²Para el ejemplo resuelto, √4 = 2 y √4.571 ≈ 2.138. Mismo spread, empaquetado diferente. Usa varianza cuando una fórmula la solicite (ANOVA, muchas salidas de regresión, algunos modelos financieros). Usa desviación estándar cuando necesites una cifra que un lector pueda colocar junto a las mediciones en bruto.
Varianza en fórmulas posteriores
ANOVA, muchas salidas de regresión y algunos modelos de riesgo consumen varianza directamente en lugar de desviación estándar. Cuando una fórmula escribe sigma al cuadrado, deja el resultado en unidades al cuadrado. Cuando un informe necesita una cifra que un lector pueda comparar con mediciones en bruto, tomar la raíz cuadrada y indicar que estás informando de desviación estándar.
Enlazar las dos páginas evita deliberadamente duplicar la corrección de Bessel aquí. La muestra frente a la población sigue siendo relevante para la varianza; la sección de interpretación en la Calculadora de Desviación Estándar sigue siendo el tratamiento más profundo de por qué aparece n menos 1.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la variación?
La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado respecto a la media. La varianza poblacional divide la suma de cuadrados por N; la varianza muestral divide por n − 1. El resultado está en unidades al cuadrado de los datos originales, por lo que una varianza de 4 en un conjunto medido en centímetros significa 4 centímetros cuadrados de dispersión, no 4 centímetros.
¿Debería usar varianza muestral o poblacional?
Utiliza la varianza poblacional cuando los datos cubren a todos los miembros del grupo que describes, y divide por N. Utiliza la varianza muestral cuando los datos son un subconjunto que representa un grupo mayor, y divide por n − 1. La muestra es el caso habitual en la práctica. Las preguntas de libro casi siempre indican qué forma quieren.
¿En qué se diferencia la variación de la desviación estándar?
La varianza es la desviación cuadrática media; la desviación estándar es su raíz cuadrada. Ambas describen la misma distribución. La desviación estándar vuelve a las unidades originales y es la cifra que la mayoría de la gente reporta. La varianza se mantiene en unidades al cuadrado y aparece dentro de otras fórmulas.
¿Por qué se están al cuadrado las desviaciones?
Sin cuadrado, las desviaciones positivas y negativas se cancelan y un conjunto disperso puede parecer que no tiene dispersión. El cuadrado elimina el signo, pesa más las desviaciones grandes y produce una cantidad que funciona limpiamente en fórmulas posteriores como regresión y ANOVA.
¿Puede la variación ser negativa?
No. La varianza es una media de cuadrados, por lo que no puede caer por debajo de cero. Solo es igual a cero cuando todos los valores del conjunto son idénticos. Un resultado negativo implica un error aritmético, normalmente un error de signo antes de cuadrar.
¿Cuál es la suma de cuadrados?
La suma de cuadrados (SS) es Σ(x − x̄)², la suma de toda desviación al cuadrado respecto a la media. Es el numerador de ambas fórmulas de varianza. En el ejemplo trabajado anterior, SS = 32.
¿Por qué la varianza muestral se divide por n − 1?
Como la media muestral se estima a partir de los mismos valores, cada desviación es sistemáticamente un poco demasiado pequeña. Dividir por n subestimaría la varianza poblacional. Dividir por n − 1 (corrección de Bessel) compensa. La Calculadora de Desviación Estándar cubre esa corrección con más detalle.
¿Cómo calculo la varianza en Excel?
Usa =VAR.S(range) para una muestra y =VAR.P(range) para una población. El antiguo =VAR() se comporta como VAR.S. Confirma qué forma espera tu asignación, porque ambos discrepan en conjuntos de datos pequeños.
¿Una variación mayor significa siempre un conjunto de datos peor?
No por sí sola. La varianza lleva unidades al cuadrado y debe leerse en función de la escala de los datos. Una varianza de 4 en valores cercanos a 7 es sustancial; la misma varianza en valores cercanos a 700 es trivial. Compárese con la media, o cambie al coeficiente de variación en la Calculadora de Desviación Estándar antes de juzgar "bueno" o "malo".
Resumen
La Calculadora de Varianza devuelve la varianza de muestra o población de cualquier conjunto de datos pegados, con la suma de cuadrados, la media y una tabla completa de desviaciones. Ambas fórmulas cuadran cada desviación de la media y la división; solo difieren en dividir por n − 1 para una muestra o N para una población.
La varianza reside en unidades al cuadrado, por lo que la raíz cuadrada (desviación estándar) suele reportarse para su interpretación. Utiliza esta página para el trabajo de suma de cuadrados; utiliza la Calculadora de Desviación Estándar cuando la pregunta pida la dispersión en las unidades originales o la corrección de Bessel en profundidad.