メタ記述(154): 任意のデータセットからサンプルまたは母集団分散を計算できます。分散計算機は平方の和、各二乗偏差、両方の式を表示します。
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分散計算機は、データセット内の値が平均からどれだけ離れているかを二乗単位で測定し、データが何を表すかに応じて標本分散または母集団分散を返します。値をカンマ、スペース、または改行で区切ると、計算機は分散と平方和、平均、各二乗偏差のステップテーブルを返します。
分散とは、標準偏差の平方根以下の量のことです。ほとんどの課題はどちらか一方を求めており、二乗単位の結果とそれに至るまでの手順の両方を示すことが手の検査を可能にします。
データセットからの分散を計算する
分散は一つの問いに答えます。すなわち、これらの値は二乗単位で測定された平均の周りにどれほど広がっているのか?分散が小さい場合は点が密集していることを意味します。大きな分散は散乱を意味します。2つの集合が同じ平均を共有しても、分散が異なる場合でも全く異なる状況を記述できます。
データをデータフィールドに値を貼り付けます。カンマ、スペース、タブ、改行はすべて動作するため、スプレッドシートからコピーした列はフォーマットの再整形が不要です。電卓はフィールド下で読み取った値の数を報告します。結果を信用する前に、その数を貼り付けたものと比べておいてください。誤答の原因は通常、文字が抜けるからです。
数値を読む前にサンプルまたは母集団を選択します。その選択によって分母が変わり、小さな集合では答え自体も変わります。
分散式を適用する
両方の式は最初の3ステップを共有し、平方和を割ったときにのみ発散します。平均を求め、各値から引いて、その偏差を二乗し、母集団の場合はNで割り、サンプルの場合はnマイナス1で割ります。
商は二乗単位の分散であり、標準偏差計算機は平方根をさらに一歩進めます。
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)乗り越え方:
1。平均を探す。 すべての値を加えてカウントで割る。 2。各偏差を見つけてください。 各値から平均を引いてください。中には負のものもあります。 3。各偏差を二乗する。 負は消える。列の合計は二乗の和(SS)である。 4。割ります。 母集団の場合はN、サンプルの場合はn − 1で割ります。その商が分散です。
標準偏差計算機はさらに一歩進みます:平方根です。分散はステップ4で止まるため、単位は二乗になっています。サンプル対母集団の選択およびベッセルの修正については、そのページを参照してください。このページは二乗和力学を所有しています。
平方和を読む
平方和は平均からのすべての二乗偏差の合計と、両方の分散式の分子の合計です。平方前の生の偏差は、平均が同じ値から取られる場合に必ずゼロになり、これは簡単な算術的検証です。平方和自体は決して負ではなく、すべての値が平均に等しい場合にのみゼロに等しいです。
SS = Σ(x − x̄)²実際には二つの性質が重要です。第一に、平方される前の生偏差は、平均を同じ値から計算した場合、常にゼロになります。その列の合計は素早い算術的検証です。次に、SS自体は決して負ではありません。なぜなら各項は二乗だからです。SSはすべての値が平均に等しい場合にのみゼロになります。
大振幅データでは、ここに示す2回通過法(まず平均、次に偏差)を、1回通過ショートカットΣx² − (Σx)²/nよりも好む。このショートカットは、値が大きくほぼ等しい場合に壊滅的に打ち消され、これは理論的な好奇心というより既知の数値的故障モードである。
なぜ偏差が二乗されるのかを理解する
二乗がなければ、正と負の偏差は打ち消し合います。半分の点が平均より3単位高く、もう半分が3単位下にある集合は、全くスプレッドがないかのように総偏差がゼロと報告されます。
絶対値も消去を止め、平均絶対偏差は実質的な代替指標です。二乗は古典統計学で好まれる実用的な理由が二つあります。大きな偏差に対して大きな偏差を大きな偏差よりも重く罰則します。すなわち、平均から3単位離れた点は1単位離れた点の9倍の寄与となります。そして二乗関数は微分可能であり、分散は最小二乗回帰や多くの推論手法の基盤となります。
このペナルティが、分散(および標準偏差)が外れ値に強く反応する理由でもあります。極端な観測がSSを支配することもあります。ボックスプロットや生値の見直しは、報告予定の分散の隣に置くべきです。
4、6、6、6、7、7、9、11の分散を計算します。
この8つの値集合は、母集団分散を正確に4、サンプル分散を4.571とします。以下のすべてのステップは手作業で確認可能です。(標準偏差計算機の例とは異なるデータセットを使用しているため、2ページが同じウォークスルーを重複しないようにしています。)
1。平均を探せ。 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2。各偏差を見つけて二乗させてください。
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3。割りなさい。
人口:32 ÷ 8 = 4 サンプル:32 ÷ 7 = 4.571
偏差はゼロになります。そうであるべきです。値11単独が32の合計のうち16を寄与し、8回中1回の観測の平方数の半分に相当します。これは単一行の二乗ペナルティです。
分散の単位を理解する
分散は元のデータの二乗単位で表されます。測定値が100の外のマークであれば、分散は二乗マークで表されます。センチメートルの場合は、分散は平方センチメートルで表されます。これらの単位は単一の観測値と直接比較できないため、実務者は通常標準偏差を報告します。
平方根を取ると単位問題は解消されます:
σ = √σ² and s = √s²例として、√4 = 2 および √4.571 ≈ 2.138。同じ見広げですが、パッケージは異なります。公式が求める場合は分散を使いましょう(ANOVA、多くの回帰分析、一部のファイナンスモデル)。生の測定値の隣にリーダーが配置できる図が必要な場合は標準偏差を使いましょう。
後の式における分散
ANOVAや多くの回帰出力、一部のリスクモデルは標準偏差ではなく分散を直接消費します。式がシグマ二乗と表記される場合は、結果を二乗単位で残します。レポートに必要な場合は、生の測定値と比較できる図を用意し、平方根を取り標準偏差を報告していることを明記してください。
2ページをリンクすることで、ここでベッセルの訂正が重複しないように意図的に使われています。分散に関してはサンプル対母集団の比較は依然として重要です。標準偏差計算機の解釈セクションは、なぜnマイナス1が現れるのかについてより深い扱いを行っています。
よくある質問
分散とは何か?
分散は平均からの二乗偏差の平均です。母集団分散は二乗の和をNで割ります。標本分散はn− 1で割ります。結果は元のデータの二乗単位で表されるため、センチメートル単位の集合での分散4は4平方センチメートルの広がりを意味し、4センチメートルではありません。
標本分散を使うべきか、それとも母集団分散を使うべきでしょうか?
記述しているグループの全メンバーを対象にデータを含み、Nで割る場合は母集団分散を使い、Nで割ります。データがより大きなグループを表す部分集合の場合はサンプル分散を使い、n − 1で割ります。実際にはサンプルが一般的な場合です。教科書の問題はほとんどの場合、どの形を望むかを明記しています。
分散は標準偏差とどのように違うのでしょうか?
分散は平均二乗偏差です。標準偏差はその平方根です。両者は同じスプレッドを表します。標準偏差は元の単位に戻り、多くの人が報告する数値です。分散は二乗単位のままで、他の式の中にも現れます。
なぜ偏差は二乗になっているのでしょうか?
二乗化がなければ正の偏差と負の偏差が打ち消し合い、広がった集合は分散しないように見えることがあります。二乗化は符号を取り除き、大きな偏差に重み付けを重ね、回帰分析やANOVAのような後の式できれいに機能する量を生み出します。
分散は負になり得るのでしょうか?
いいえ。分散は平方の平均値なので、ゼロを下回ることはありません。集合内のすべての値が同一である場合にのみゼロに等しいです。負の結果は算術誤り、通常は二乗前の符号ミスを意味します。
二乗の和とは何でしょうか?
二乗和(SS)はΣ(x − x̄)²、すなわち平均からの2乗偏差の合計です。これは両方の分散式の分子です。上記の例では、SS = 32です。
なぜサンプル分散はn − 1で割られるのでしょうか?
標本平均は同じ値から推定されるため、どの偏差も体系的に少し小さすぎます。nで割ると母分散が過小評価されます。n− 1(ベッセルの補正)で割ると補正されます。標準偏差計算機はその補正をより詳しく扱っています。
Excelで分散を計算するにはどうすればいいですか?
サンプルには=VAR.S(range)、母集団には=VAR.P(range)を用います。古い=VAR()はVAR.Sのように振る舞います。課題がどの形式を期待しているかを確認してください。なぜなら、両者は小さなデータセットでは意見が異なるからです。
分散が大きいほど、常にデータセットが悪くなるのでしょうか?
それだけでは意味しません。分散は二乗単位で計算され、データのスケールに対して読み取る必要があります。7付近の値で4の分散が大きいのはかなり大きいです。しかし、700付近の値でも同じ分散は自明です。「良い」か「悪い」かを判断する前に、平均と比較するか、標準偏差計算機の変動係数に切り替えてください。
まとめ
分散計算機は、貼り付けた任意のデータセットからサンプルまたは母集団分散を返し、二乗の和、平均、そして完全な偏差表を含みます。両方の式は平均からの各偏差を二乗し割り、サンプルの場合はn− 1で割る、母集団の場合はNで割る点でのみ異なります。
分散は二乗単位で存在するため、通常は解釈のために平方根(標準偏差)が報告されます。このページでは平方和の計算方法を使い、問題で元の単位でのスプレッドやベッセルの深さの修正を求める場合は標準偏差計算機を使用してください。