メタ記述(153): 平均または比率の信頼区間を計算します。信頼区間計算機はシグマが未知の場合にtを使い、すべてのステップを表示します。
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信頼区間計算機は、サンプルの要約図から母平均または母集団比率の信頼区間を作成します。標本平均(または割合)、標準偏差または成功数、サンプルサイズ、信頼水準を入力します。計算機は臨界値と標準誤差を示した下限値と上限値を返します。
σが未知の場合、デフォルトはt分布を使用します。この選択により、小サンプル区間が誤って狭くなるのを防ぎます。これは常にzを使うツールでよく見られる故障モードです。
平均の信頼区間を計算します
平均信頼区間は、1つのサンプルの要約図から母平均の範囲を推定します。必要な入力は、標本平均、標本サイズ、標準偏差、そして90、95、99パーセントなどの信頼水準です。
出力は下限と上限の両方であり、区間が広いほど、nのスプレッドが小さく、分布が広がる、または信頼水準が高いことを反映します。
出力は(低い、高い)です。広い区間ほど不確実性が増します。nが小さく、sが大きく、信頼度が高いほどバンドが広がります。
t分布とz分布のどちらかを選びます
母集団標準偏差σが既知の場合にのみzを用いてください(教科書外の設定は稀です)。またはnが非常に大きく正規近似が受け入れられる場合。 σが未知でsで推定する場合はtを使います。自由度= n − 1。
この選択を無視するツールによる常時オンのz区間は、小さなサンプルでは狭すぎます。nは未知のシグマで10に等しく、95パーセントでのt臨界値は約2.262であり、1.96ではなく、他の因子が変わる前の約15パーセントの広いマージンです。このギャップは見た目の好みではなく、正しさの問題です。
t分布はzよりも尾部が強いため、同じ信頼レベルで臨界値は大きくなります。特にn≈ 30未満です。常時オンのz区間は、小さなサンプルで不確実性を過小評価します。この計算機は、sを入力するときはtをデフォルトで入力します。σではありません。
信頼区間の公式を適用する
平均区間は、サンプル平均に臨界値のプラスマイナスを標準誤差をかけたものです。既知のシグマでは臨界値はzです。未知のシグマではtでnマイナス1の自由度を持ちます。
臨界値と標準誤差の積は誤差範囲で、下限を引いて上界を加算したものです。
x̄ ± z(α/2) × (σ / √n)σ不明の平均:
x̄ ± t(α/2, n−1) × (s / √n)臨界値と標準誤差の積は誤差範囲です。下限をx̄から引く;上限をx̄に加えます。
平均 20.6 に対して 95 パーセント区間を計算します。
平均 20.6、標本標準偏差 3.2、50 n、95パーセント信頼度のとき、シグマは未知なので、tは49の自由度を適用します。標準誤差は3.2で50の平方根、すなわち約0.4525です。臨界tは約2.010なので誤差範囲は約0.910、区間はおよそ19.69から21.51までの範囲です。
1。標準誤差。 SE = 3.2 / √50 = 3.2 / 7.071 ≈ 0.4525。
2。臨界t。 t(0.025, 49) ≈ 2.010。
3。誤差範囲。 E = 2.010 × 0.4525 ≈ 0.910。
4。音程。 20.6 − 0.910 = 19.69、そして20.6 + 0.910 = 21.51。
zベースの区間で1.96の場合はやや狭くなります(約19.71から21.49まで)。n = 50ではギャップは小さくなります。n = 10の場合はより重要になります。
ある割合の信頼区間を計算します。
サンプル比率の場合、大きなサンプル区間はp-hatプラスマイナスz×p-hatの平方根×1-マイナスp-hat ÷ nです。100の試行で42回成功するとp-hat 0.42が得られます。95パーセントではマージンは約0.097、区間は約0.323から0.517になります。
計算機はnp-hat、すなわちn×1-p-hatが5を下回ると警告します。
p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1 − p̂) / n)例:42 100 →試行における成功 p̂ = 0.42。95% 時、z = 1.96。 SE = √(0.42 × 0.58 / 100) = √0.002436 ≈ 0.0494。 E ≈ 1.96 × 0.0494 ≈ 0.0967。 間隔≈(0.323, 0.517)。
この大きなサンプル(Wald)形式は、nが小さい場合やp̂が0または1に近いときに弱まります。計算機はnp̂またはn(1−p̂)が5未満の場合に警告します。
信頼区間を正しく解釈する
95%信頼水準とは、同じサンプリング過程を何度も繰り返した場合、その方法で構成された区間の約95%が真のパラメータを含むことを意味します。これは「この特定の区間にパラメータを含む確率が95%」という意味ではありません。
データが固定された後、実現された区間は真のパラメータをカバーするか、カバーしないかのいずれかです。その区間にまだ95パーセントの確率が付随しているかのように話すのは、頻度主義的カバレッジとベイズ確率主張を混ぜ合わせています。言語は手法の長期成功率に結びつけておきましょう。
データが固定された後、区間は真の値をカバーするか、そうでないかのいずれかです。95%は、実現された区間の事後確率ではなく、メソッドの長期成功率に結びつきます。この文を誤読することは、応用研究における最も一般的な解釈誤りの一つです。
信頼レベルを変える
信頼レベルを上げると、同じデータでも臨界値が増加するため区間が広がります。両側正規水準では、zは1.645(90パーセント)、1.960(95パーセント)、2.576(99パーセント)です。
より高い信頼度とより厳密な精度の両方を求めるには、より多くの観測データを集める必要があり、サンプルサイズ計算機はそのトレードオフをnに変換します。---|---|---| |90% |1.645 |狭い | |95% |1.960 |標準選択 | |99% |2.576 |幅が広い |
信頼度が高いほど、同じデータに対してより広い区間が必要です。サンプル数が増えなければ、任意に高い信頼度と任意に厳密な精度は得られません。サンプルサイズ計算機は、データを収集する前にそのトレードオフをnに変換します。
テスト以外のインターバル
信頼区間と、一致するアルファでの両側検定は密接に関連しています。平均に対する95パーセント区間は、0.05での両側検定が否定される時点でおおよそ帰無値を除外します。それでも区間は大きさを加えます。
ゼロが排除されることを知っているよりも、妥当な範囲が0.05から4.0までではなく1.2から1.8までであることを知る方が有用ではありません。
計画研究では、標本サイズ計算機を使って望ましい誤差範囲から逆算し、後から区間が広すぎて何も決められないと気づくのではなく、
表示の精度と四捨五入
データと標準誤差に一致する精度で境界を報告します。SEが0.45に近い1桁の平均を1桁に測定した場合、境界に6桁の小数点は必要ありません。より正確な計算後に表示する最終区間を回し、19.69から21.51で終わる作業例と同じ習慣を用いています。
よくある質問
信頼区間とは何ですか?
信頼区間とは、標本データから計算され、指定された信頼水準での繰り返しサンプリングの下で、その重複率の真のパラメータをカバーする範囲のことです。これは、明示的な誤差範囲を持つ母平均または割合を推定します。
なぜ平均値にzではなくtを使うのですか?
σが未知でsで推定される場合、tはその余分な不確実性を補う。有限dfの場合、臨界t値はzを超え、区間を適切に広げる。
95%の信頼とはどういう意味ですか?
同じ方法で繰り返しサンプルで生成された区間の約95%には真のパラメータが含まれています。これはデータを見てから1つの固定区間に関する確率主張ではなく、手続きの性質です。
インターバルをどうやって縮めればいいですか?
nを増やす、低い信頼水準を受け入れる、または測定のばらつきを減らす。サンプルサイズは通常、制御可能なレバーである。
これを割合に使えますか?
はい。成功とn(またはp̂とn)を入力します。計算機は通常の近似を使い、その近似値に対してカウントが少なすぎると警告します。
誤差の範囲はどのくらいですか?
誤差範囲は臨界値に標準誤差を掛けたものです。これは点推定値に±の量を加えたり引いたりしたものです。
95%区間とは、データの95%がその区間内にあることを意味しますか?
いいえ。それは別の考え方(予測区間や許容区間)を表しています。信頼区間は個々の観測値ではなく、平均などのパラメータを対象とします。
臨界z値はどこから来るのでしょうか?
これらは標準的な正規分位体です:1.645、1.960、2.576(両面90%)、95%、99%です。共有統計参照ファイルには、関連する計算機で使用される同じ定数が格納されます。
まとめ
信頼区間計算機は、臨界値、標準誤差、誤差範囲を示す平均区間または比率区間を返します。未知の平均σデフォルトでtを使用します。比例は正規近似が弱い場合、サンプルサイズ警告付きのzを使用します。
平均20.6の95%区間(s = 3.2、n = 50)は約19.69から21.51までの範囲です。信頼レベルを手法の長期カバレッジ率として解釈し、より広いバンドを受け入れる場合にのみ信頼度を上げ、サンプル数計算器を用いてnを計画し、サンプルを取る前にnを計画してください。