Titre SEO (55): Calculateur d’intervalles de confiance - Moyenne & Proportion Méta-description (153): Calculer un intervalle de confiance pour une moyenne ou une proportion. Le calculateur d’intervalles de confiance utilise t lorsque sigma est inconnu et affiche chaque étape. URL : /statistics-calculators/confidence-interval-calculator Schema : WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Le Calculateur d’Intervalle de Confiance construit un intervalle de confiance pour une moyenne ou une proportion de population à partir des chiffres résumés de l’échantillon. Entrez la moyenne (ou proportion) de l’échantillon, l’écart-type ou le nombre de succès, la taille de l’échantillon et le niveau de confiance ; le calculateur renvoie les bornes inférieure et supérieure avec la valeur critique et l’erreur standard indiquées.
Lorsque σ est inconnue, la distribution par défaut utilise la distribution t. Ce choix empêche les intervalles de petit échantillon de devenir faussement étroits, un mode de défaillance courant dans les outils qui utilisent toujours z.
Calculer un intervalle de confiance pour une moyenne
Un intervalle de confiance moyen estime une plage pour la moyenne de la population à partir des chiffres résumés d’un échantillon. Les entrées requises sont la moyenne de l’échantillon, la taille de l’échantillon, un écart-type et un niveau de confiance tel que 90, 95 ou 99 pour cent.
La sortie est une borne inférieure et une borne supérieure ; des intervalles plus larges indiquent n plus petits, un écart plus large ou un niveau de confiance plus élevé.
La sortie est (plus basse, supérieure). Des intervalles plus larges reflètent plus d’incertitude : n plus petit, s plus grand ou un niveau de confiance plus élevé élargissent tous la bande.
Choisissez entre les distributions t et z
Utilisez z lorsque le σ d’écart-type de la population est connu (rares configurations hors manuel) ou lorsque n est très grand et qu’une approximation normale est acceptée. Utilisez t lorsque σ est inconnu et vous l’estimez avec s. Degrés de liberté = n − 1.
Les intervalles z toujours actifs provenant d’outils qui ignorent ce choix sont trop étroits sur de petits échantillons. Sur n égale à 10 avec sigma inconnu, la valeur critique de t à 95 pour cent correspond à environ 2.262 plutôt que 1.96, soit environ une marge de 15 pour cent avant que tout autre facteur ne change. Cet écart est une question de correction, pas une préférence cosmétique.
La distribution t a des queues plus lourdes que z, donc les valeurs critiques sont plus grandes au même niveau de confiance, surtout en dessous de n ≈ 30. Les intervalles z toujours actifs sous-estiment l’incertitude sur de petits échantillons. Ce calculateur est par défaut t chaque fois que vous entrez s plutôt que σ.
Appliquer la formule de l’intervalle de confiance
L’intervalle moyen est la moyenne de l’échantillon plus ou moins une valeur critique multipliée par l’erreur standard. Avec sigma connue, la valeur critique est z ; avec sigma inconnue, c’est t avec n moins 1 degrés de liberté.
Le produit de la valeur critique et de l’erreur standard est la marge d’erreur, soustraite pour la borne inférieure et ajoutée pour la borne supérieure.
x̄ ± z(α/2) × (σ / √n)Dire avec σ inconnue :
x̄ ± t(α/2, n−1) × (s / √n)Le produit de la valeur critique et de l’erreur standard est la marge d’erreur. Soustrayez-la de x̄ pour la borne inférieure ; ajoutez-la pour la borne supérieure.
Calculer un intervalle de 95 pour une moyenne de 20.6
Étant donné la moyenne 20.6, l’écart-type de l’échantillon 3.2 et n de 50 à 95 pour cent de confiance, sigma est inconnue donc t avec 49 degrés de liberté s’applique. L’erreur standard est 3.2 sur la racine carrée de 50, environ 0.4525. T critique est environ 2.010, donc la marge d’erreur est d’environ 0.910 et l’intervalle va d’environ 19.69 à 21.51.
1. Erreur standard. SE = 3.2 / √50 = 3.2 / 7.071 ≈ 0.4525.
2. Critique t. t(0.025, 49) ≈ 2.010.
3. Marge d’erreur. E = 2.010 × 0.4525 ≈ 0.910.
4. Intervalle. 20.6 − 0.910 = 19.69, et 20.6 + 0.910 = 21.51.
Un intervalle basé sur z avec 1.96 serait légèrement plus étroit (environ 19.71 à 21.49). Sur n = 50 l’écart est petit ; sur n = 10 cela aurait plus d’importance.
Calculer un intervalle de confiance pour une proportion
Pour une proportion d’échantillon, l’intervalle des grands échantillons est p-chapeau plus ou moins z multiplié par la racine carrée de p-chapeau multiplié par un moins p-chapeau sur n. Quarante-deux succès dans des essais 100 donnent p-chapeau 0.42 ; à 95 pour cent, la marge est d’environ 0.097 et l’intervalle d’environ 0.323 à 0.517.
Le calculateur avertit lorsque np-chapeau ou n fois un moins p-chapeau tombe en dessous de 5.
p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1 − p̂) / n)Exemple : 42 succès dans les essais 100 → p̂ = 0.42. À 95 %, z = 1.96. SE = √(0.42 × 0.58 / 100) = √0.002436 ≈ 0.0494. E ≈ 1.96 × 0.0494 ≈ 0.0967. Intervalle ≈ (0.323, 0.517).
Cette forme à grand échantillon (Wald) s’affaiblit lorsque n est petit ou que p̂ est proche de 0 ou 1. La calculatrice avertit lorsque np̂ ou n(1−p̂) est inférieur à 5.
Interpréter correctement un intervalle de confiance
Un niveau de confiance 95 % signifie que si le même processus d’échantillonnage était répété plusieurs fois, environ 95 % des intervalles construits de cette manière contiendraient le paramètre réel. Cela ne signifie pas « il y a une probabilité 95 % que cet intervalle particulier contienne le paramètre » dans le sens courant auquel on l’entend souvent.
Après la fixation des données, l’intervalle réalisé couvre soit le paramètre réel, soit non. Parler comme s’il y avait encore une probabilité 95 pour cent associée à cet intervalle mélange une couverture fréquentiste avec une affirmation de probabilité bayésienne. Gardez le langage lié au taux de réussite à long terme de la méthode.
Après la fixation des données, l’intervalle couvre soit la valeur réelle, soit non. Le 95 % s’attache au taux de réussite à long terme de la méthode, et non à une probabilité a posteriori pour un intervalle réalisé. Mal interpréter cette phrase est l’une des erreurs d’interprétation les plus courantes dans les travaux appliqués.
Changer le niveau de confiance
Augmenter le niveau de confiance élargit l’intervalle pour les mêmes données car la valeur critique augmente. Aux niveaux normaux bidirectionnels, z est 1.645 pour 90 pour cent, 1.960 pour 95 pour cent et 2.576 pour 99 pour cent.
Vous ne pouvez pas exiger à la fois une confiance plus élevée et une précision plus stricte sans collecter plus d’observations ; le calculateur de taille d’échantillon transforme ce compromis en un n. | ---|---|---| | 90 % | 1.645 | Plus étroit | | 95 % | 1.960 | Choix standard | | 99 % | 2.576 | Plus large |
Une confiance plus élevée exige un intervalle plus large pour les mêmes données. Vous ne pouvez pas avoir une confiance arbitrairement élevée et une précision arbitrairement stricte sans plus d’échantillons. Le Calculateur de taille d’échantillon transforme ce compromis en n avant de collecter les données.
Intervalles en plus des tests
Un intervalle de confiance et un test à deux faces à l’alpha correspondant sont étroitement liés : un intervalle de 95 pour une moyenne exclut la valeur nulle approximativement lorsqu’un test bilatéral en 0.05 rejette. L’intervalle ajoute néanmoins de la magnitude.
Savoir que zéro est exclu est moins utile que de connaître l’intervalle plausible allant de 1.2 à 1.8 plutôt que de 0.05 à 4.0.
Pour la planification des études, il faut remonter à partir d’une marge d’erreur souhaitée en utilisant le Calculateur de taille d’échantillon plutôt que de découvrir après coup que l’intervalle est trop large pour décider quoi que ce soit.
Précision d’affichage et arrondi
Rapport des bornes avec une précision correspondant aux données et à l’erreur standard. Une moyenne mesurée à une décimale avec SE près de 0.45 n’a pas besoin de six décimales sur les bornes. Arrondir l’intervalle final pour l’affichage après calcul avec une précision plus complète, même habitude utilisée pour l’exemple travaillé qui se termine à 19.69 à 21.51.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un intervalle de confiance ?
Un intervalle de confiance est une plage calculée à partir de données d’échantillon qui, sous échantillonnage répété au niveau de confiance indiqué, couvre le paramètre réel dans ce pourcentage de répétitions. Il estime une moyenne ou une proportion de population avec une marge d’erreur explicite.
Pourquoi utiliser t au lieu de z pour une moyenne ?
Lorsque σ est inconnu et estimé par s, t prend en compte cette incertitude supplémentaire. Les valeurs critiques de t dépassent z pour df fini, élargissant l’intervalle de manière appropriée.
Que signifie une confiance en 95 % ?
Environ 95 % des intervalles produits par la même méthode dans des échantillons répétés contiendraient le paramètre réel. C’est une propriété de la procédure, pas une affirmation de probabilité sur un intervalle fixe après avoir vu les données.
Comment puis-je réduire un intervalle ?
Augmenter n, accepter un niveau de confiance plus bas ou réduire la variabilité des mesures. La taille de l’échantillon est généralement le levier contrôlable.
Puis-je utiliser ça pour une proportion ?
Oui. Entrez les succès et n (ou p̂ et n). Le calculateur utilise l’approximation normale et avertit lorsque les comptages sont trop petits pour cette approximation.
Quelle est la marge d’erreur ?
La marge d’erreur est la valeur critique multipliée par l’erreur standard. C’est la quantité ± ajoutée et soustraite de l’estimation ponctuelle.
Un intervalle 95 % signifie-t-il que 95 % des données se trouvent à l’intérieur ?
Non. Cela décrit une idée différente (intervalles de prédiction ou de tolérance). Un intervalle de confiance cible un paramètre tel qu’une moyenne, pas des observations individuelles.
D’où viennent les valeurs critiques de z ?
Ce sont des quantiles normaux standards : 1.645, 1.960 et 2.576 pour des quantiles bidirectionnels 90 %, 95 % et 99 %. Le fichier de référence statistique partagé stocke les mêmes constantes utilisées par les calculateurs associés.
Résumé
Le calculateur d’intervalles de confiance restitue les intervalles moyens ou proportionnels avec la valeur critique, l’erreur standard et la marge d’erreur indiqués. Les moyennes inconnues σ utilisent t par défaut ; les proportions utilisent z avec un avertissement de taille d’échantillon lorsque l’approximation normale est faible.
Un intervalle de 95 % pour la moyenne 20.6 avec s = 3.2 et n = 50 s’étend autour de 19.69 à 21.51. Interprétez le niveau de confiance comme un taux de couverture à long terme de la méthode, augmentez la confiance seulement si vous acceptez une bande plus large, et utilisez le Calculateur de taille d’échantillon lorsque vous planifiez n avant d’échantillonner.
Calculateurs connexes
Calculateur de taille d’échantillon · Calculateur d’écart-type · Calculateur de valeurs P · Calculateur de score Z