Der Konfidenzintervallrechner erstellt anhand von Stichprobenzusammenfassungen ein Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert oder einen Populationsanteil. Geben Sie den Stichprobenmittelwert (oder Anteil), die Standardabweichung oder Anzahl der Erfolge, die Stichprobengröße und das Konfidenzniveau ein; der Rechner liefert die unteren und oberen Schranken mit dem angegebenen kritischen Wert und dem Standardfehler.
Wenn σ unbekannt ist, verwendet der Standard die t-Verteilung. Diese Wahl verhindert, dass kleine Stichprobenintervalle falsch eng werden, ein häufiger Ausfallmodus bei Werkzeugen, die immer z verwenden.
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert
Ein mittleres Konfidenzintervall schätzt einen Bereich für den Populationsmittelwert anhand der zusammenfassenden Zahlen einer Stichprobe. Erforderliche Eingaben sind der Stichprobenmittelwert, die Stichprobengröße, eine Standardabweichung und ein Konfidenzniveau wie 90, 95 oder 99 Prozent.
Das Ergebnis ist eine untere und eine obere Schranke; breitere Intervalle spiegeln ein kleineres n, eine größere Streuung oder ein höheres Konfidenzniveau wider.
Das Ergebnis ist (unten, oben). Größere Intervalle spiegeln mehr Unsicherheit wider: kleineres n, größeres s oder ein höheres Konfidenzniveau verbreitern das Band.
Wählen Sie zwischen den t- und z-Verteilungen
Verwenden Sie z, wenn die Populationsstandardabweichung σ bekannt ist (seltene außerhalb von Lehrbuch-Setups) oder wenn n sehr groß ist und eine normale Näherung akzeptiert wird. Verwenden Sie t, wenn σ unbekannt ist und Sie es mit s schätzen. Freiheitsgrade = n − 1.
Die immer eingeschalteten z-Intervalle von Werkzeugen, die diese Wahl ignorieren, sind bei kleinen Stichproben zu schmal. Bei n gleich 10 mit unbekanntem Sigma ist der kritische Wert t bei 95 Prozent etwa 2.262 statt 1.96, also ungefähr 15 Prozent breiter, bevor sich andere Faktoren ändern. Diese Lücke ist eine Korrektheitsfrage, keine kosmetische Präferenz.
Die t-Verteilung hat schwerere Schwänze als z, sodass kritische Werte bei demselben Konfidenzniveau größer sind, besonders unterhalb von n ≈ 30. Always-on-z-Intervalle unterschätzen die Unsicherheit bei kleinen Stichproben. Dieser Rechner setzt standardmäßig auf t, sobald man s eingibt, statt σ.
Wende die Konfidenzintervallformel an
Das mittlere Intervall ist der Stichprobenmittelwert plus oder minus einen kritischen Wert mal den Standardfehler. Mit bekanntem Sigma ist der kritische Wert z; bei unbekanntem Sigma ist er t mit n minus 1 Freiheitsgraden.
Das Produkt aus kritischem Wert und Standardfehler ist die Fehlermarge, subtrahiert für die untere Schranke und addiert für die obere Schranke.
x̄ ± z(α/2) × (σ / √n)Mittel mit unbekannter σ:
x̄ ± t(α/2, n−1) × (s / √n)Das Produkt aus kritischem Wert und Standardfehler ist die Fehlermarge. Subtrahiere sie von x̄ für die untere Schranke; addiere sie für die obere Schranke.
Berechnen Sie ein 95 Prozentintervall für einen Mittelwert von 20.6
Gegeben der Mittelwert 20.6, Stichproben-Standardabweichung 3.2 und n von 50 bei 95 prozentualer Konfidenz, ist Sigma unbekannt, daher gilt t mit 49 Freiheitsgraden. Der Standardfehler ist 3.2 über der Quadratwurzel von 50, etwa 0.4525. Kritisches t liegt bei 2.010, also beträgt die Fehlermarge etwa 0.910 und das Intervall reicht von etwa 19.69 bis 21.51.
1. Standardfehler. SE = 3.2 / √50 = 3.2 / 7.071 ≈ 0.4525.
2. Kritischer t. t(0.025, 49) ≈ 2.010.
3. Fehlermarge. E = 2.010 × 0.4525 ≈ 0.910.
4. Intervall. 20.6 − 0.910 = 19.69, und 20.6 + 0.910 = 21.51.
Ein z-basiertes Intervall mit 1.96 wäre etwas schmaler (etwa von 19.71 bis 21.49). Auf n = 50 ist die Lücke klein; auf n = 10 wäre es wichtiger.
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Anteil
Für ein Stichprobenverhältnis ist das große Stichprobenintervall p-hat plus oder minus z mal die Quadratwurzel von p-hat mal eins minus p-hat über n. Zweiundvierzig Erfolge in 100-Versuchen ergeben p-hat 0.42; bei 95 Prozent beträgt der Rand etwa 0.097 und das Intervall etwa 0.323 bis 0.517.
Der Rechner warnt, wenn np-hat oder n mal eins minus p-hat unter 5 fällt.
p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1 − p̂) / n)Beispiel: 42 Erfolge in 100-Prüfungen → p̂ = 0.42. Bei 95%, z = 1.96. SE = √(0.42 × 0.58 / 100) = √0.002436 ≈ 0.0494. E ≈ 1.96 × 0.0494 ≈ 0.0967. Intervall ≈ (0.323, 0.517).
Diese große Stichprobenform (Wald) schwächt sich ab, wenn n klein ist oder p̂ nahe 0 oder 1 liegt. Der Rechner warnt, wenn np̂ oder n(1−p̂) unter 5 liegt.
Interpretiere ein Konfidenzintervall korrekt
Ein 95%-Konfidenzlevel bedeutet, dass, wenn derselbe Stichprobenprozess mehrfach wiederholt würde, etwa 95% der auf diese Weise konstruierten Intervalle den wahren Parameter enthalten würden. Es bedeutet nicht "es gibt eine 95%-Wahrscheinlichkeit, dass dieses spezielle Intervall den Parameter enthält" im alltäglichen Sinne, den viele Menschen meinen.
Nachdem die Daten festgelegt sind, deckt das realisierte Intervall entweder den wahren Parameter ab oder nicht. So zu sprechen, als gäbe es noch eine 95 Prozentwahrscheinlichkeit, mischt man die frequentistische Abdeckung mit einer Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbehauptung. Halten Sie die Sprache an die langfristige Erfolgsrate der Methode gebunden.
Nachdem die Daten festgelegt sind, deckt das Intervall entweder den wahren Wert ab oder eben nicht. Das 95% hängt mit der langfristigen Erfolgsrate der Methode an, nicht mit einer posterioren Wahrscheinlichkeit für ein realisiertes Intervall. Das Falschlesen dieses Satzes ist einer der häufigsten Interpretationsfehler in der angewandten Arbeit.
Ändern Sie das Konfidenzniveau
Das Erhöhen des Konfidenzniveaus erweitert das Intervall für dieselben Daten, da der kritische Wert wächst. Bei beidseitigen normalen Werten ist z 1.645 für 90 Prozent, 1.960 für 95 Prozent und 2.576 für 99 Prozent.
Man kann nicht sowohl höhere Sicherheit als auch eine genauere Genauigkeit verlangen, ohne mehr Beobachtungen zu sammeln; der Sample Size Calculator wandelt diesen Kompromiss in ein n um. | ---|---|---| | 90% | 1.645 | Schmaler | | 95% | 1.960 | Standardwahl | | 99% | 2.576 | Breiter |
Höhere Zuverlässigkeit erfordert ein größeres Intervall für dieselben Daten. Man kann ohne weitere Stichproben keine beliebig hohe Sicherheit und beliebig enge Präzision haben. Der Sample Size Calculator wandelt diesen Kompromiss vor der Datenerhebung in ein n um.
Intervalle neben Tests
Ein Konfidenzintervall und ein beidseitiger Test bei Alpha-Matching sind eng miteinander verbunden: Ein 95-Prozentintervall für einen Mittelwert schließt den Nullwert ungefähr aus, wenn ein zweiseitiger Test bei 0.05 ablehnt. Das Intervall fügt weiterhin Magnitude hinzu.
Zu wissen, dass Null ausgeschlossen ist, ist weniger nützlich, als zu wissen, dass der plausible Bereich von 1.2 bis 1.8 statt von 0.05 bis 4.0 reicht.
Für Planungsstudien arbeiten Sie rückwärts von einer gewünschten Fehlermarge mit dem Sample Size Calculator aus, anstatt im Nachhinein festzustellen, dass das Intervall zu breit ist, um etwas zu entscheiden.
Anzeigegenauigkeit und Rundung
Berichte Grenzen mit einer Genauigkeit, die mit den Daten und dem Standardfehler übereinstimmt. Ein Mittelwert, der auf eine Dezimalzahl gemessen wird und SE nahe 0.45 nahe 0.45 erreicht, benötigt keine sechs Dezimalstellen an den Schranken. Runden Sie das letzte Intervall für die Darstellung nach vollständiger Berechnung um, die gleiche Praxis wie beim ausgearbeiteten Beispiel mit 19.69 auf 21.51 verwendet wird.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich, der aus Stichprobendaten berechnet wird und unter wiederholter Stichprobe auf dem angegebenen Konfidenzniveau den wahren Parameter in diesem Prozentsatz der Wiederholungen abdeckt. Es schätzt einen Populationsmittelwert oder -anteil mit einer expliziten Fehlermarge.
Warum t statt z als Mittel verwenden?
Wenn σ unbekannt ist und durch s geschätzt wird, berücksichtigt t diese zusätzliche Unsicherheit. Kritische t-Werte übersteigen z für endliches df, wodurch das Intervall entsprechend erweitert wird.
Was bedeutet 95% Zuversicht?
Etwa 95% der Intervalle, die mit derselben Methode in wiederholten Stichproben erzeugt werden, enthalten den wahren Parameter. Es ist eine Eigenschaft des Verfahrens, keine Wahrscheinlichkeitsbehauptung über ein festes Intervall nach Sehen der Daten.
Wie verkürze ich ein Intervall?
Erhöhen Sie n, akzeptieren Sie ein niedrigeres Konfidenzniveau oder reduzieren Sie die Variabilität in den Messungen. Die Stichprobengröße ist in der Regel der steuerbare Hebel.
Kann ich das als Verhältnis verwenden?
Ja. Gib Erfolge und n (oder p̂ und n) ein. Der Rechner verwendet die normale Näherung und warnt, wenn die Zählungen für diese Näherung zu klein sind.
Wie hoch ist die Fehlertoleranz?
Die Fehlermarge ist der kritische Wert mal der Standardfehler. Sie ist die ±-Menge, die zur Punktschätzung addiert und abgezogen wird.
Bedeutet ein Intervall von 95% 95% der Daten darin?
Nein. Das beschreibt eine andere Idee (Vorhersage- oder Toleranzintervalle). Ein Konfidenzintervall zielt auf einen Parameter wie einen Mittelwert ab, nicht auf einzelne Beobachtungen.
Woher kommen die kritischen Z-Werte?
Es handelt sich um Standard-Normalquantile: 1.645, 1.960 und 2.576 für zweiseitige 90%, 95% und 99%. Die Referenzdatei für geteilte Statistiken speichert dieselben Konstanten, die in verwandten Rechnern verwendet werden.
Zusammenfassung
Der Konfidenzintervallrechner liefert Mittelwert- oder Anteilsintervalle mit angegebenem kritischen Wert, Standardfehler und Fehlermarge. Mittelwerte mit unbekannter σ verwenden standardmäßig t; Proportionen verwenden z mit einer Stichprobengrößenwarnung, wenn die normale Näherung schwach ist.
Ein 95%-Intervall für den Mittelwert 20.6 mit s = 3.2 und n = 50 erstreckt sich etwa von 19.69 bis 21.51. Interpretiere das Konfidenzniveau als langfristige Abdeckungsrate der Methode, erhöhe nur das Vertrauen, wenn du ein breiteres Band akzeptierst, und verwende den Stichprobengrößenrechner bei der Planung von n vor der Stichprobe.