Der Kinematik-Rechner löst Bewegungsprobleme unter konstanter Beschleunigung mithilfe der vier kinematischen Gleichungen. Geben Sie drei der fünf Variablen ein: Verschiebung, Anfangsgeschwindigkeit, Endgeschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit, und der Rechner findet die verbleibenden beiden Zustände, welche Gleichung er angewendet hat, und erklärt, warum diese Gleichung passend ist.
Dieser letzte Teil ist der Punkt. Die richtige Gleichung auszuwählen ist die Fähigkeit, die in jedem Einführungskurs in Mechanik vermittelt wird, und ein Taschenrechner, der eine Zahl zurückgibt, ohne die Gleichung zu benennen, lehrt nichts.
Löse jedes kinematische Problem aus drei bekannten Werten
Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung wird durch fünf Größen beschrieben, und das Kennen von drei beschreibt die anderen beiden. Das ist die gesamte Struktur des Themas, und deshalb liefert jedes Lehrbuchproblem genau drei Zahlen.
| Symbol | Menge | SI-Einheit |
|---|---|---|
| s | Verdrängung | Meter (m) |
| u | Anfangsgeschwindigkeit | Meter pro Sekunde (m/s) |
| v | Endgeschwindigkeit | Meter pro Sekunde (m/s) |
| a | Beschleunigung | Quadratmeter pro Sekunde (m/s²) |
| t | Zeit | Sekunden (s) |
Füllen Sie die drei ein, die Sie kennen, und lassen Sie die anderen leer. Der Taschenrechner löst für beide Unbekannten, manchmal in einem Schritt, manchmal in zwei, und zeigt jeden Schritt mit der verwendeten Gleichung an.
Jedes Feld hat seinen eigenen Einheitenselektor, sodass ein Problem, das in Kilometern pro Stunde mit einer Zeit in Sekunden angegeben ist, keine manuelle Umrechnung benötigt. Die wissenschaftliche Notation funktioniert in der Form 3.45e9.
Wenn du mehr als drei Werte eingibst, löst der Taschenrechner von drei und vergleicht die restlichen mit dem Ergebnis. Wenn sie unterschiedlich sind, sagt er das, was meist eher einen Tippfehler als einen physikalischen Fehler bedeutet.
Wählen Sie die richtige kinematische Gleichung
Vier Gleichungen beschreiben die Bewegung bei konstanter Beschleunigung, und jede lässt genau eine der fünf Variablen aus. Diese einzelne Beobachtung ist die gesamte Auswahlregel.
| Gleichung | Lässt das aus | Nutze, wenn du keine hast |
|---|---|---|
| v = u + at | s | Verdrängung |
| s = ut + ½at² | v | Endgeschwindigkeit |
| s = ½(u + v)t | a | Beschleunigung |
| v² = u² + 2as | t | Zeit |
Die Methode ist also: Identifiziere die Variable, die du weder kennst noch brauchst, und verwende die Gleichung, die sie weglässt.
Gegeben Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit hast du keine Verschiebung, daher gilt v = u + at. Gegeben Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung ohne verfügbare Zeit gilt v² = u² + 2as. Die Gleichung ist keine Wahl, sie folgt aus dem, was auf der Seite vor dir steht.
Der Taschenrechner gibt diese Begründung für jedes eingegebene Problem im Panel über den Eingaben an. Liest man es ein paar Mal, wird die Regel automatisch, das ist schneller, als überhaupt nach einem Taschenrechner zu greifen.
Wenden Sie die vier kinematischen Gleichungen an
Jede Gleichung löst jede Variable, die sie enthält, und die Umordnungen sind es wert, sie zur Hand zu haben. v = u + at `` v = u + at u = v − at a = (v − u)/t t = (v − u)/a ``
s = ut + 1/2at² `` s = ut + ½at² u = (s − ½at²)/t a = 2(s − ut)/t² ``
Das Lösen dieses für t benötigt die quadratische Formel, weil t quadriert erscheint: `` t = [−u ± √(u² + 2as)] / a ``
Daraus entstehen zwei Wurzeln, und beide können physikalisch real sein. Ein nach oben geworfener Ball passiert eine beliebige Höhe zweimal, einmal nach oben, einmal nach unten, also ist zwei positive Male die richtige Antwort, kein Fehler. Der Rechner meldet beides und sagt, was was ist. Negative Nullstellen werden verworfen, mit einer Notiz, die erklärt, warum.
s = 1/2(u + v)t `` s = ½(u + v)t u = 2s/t − v v = 2s/t − u t = 2s/(u + v) ``
v² = u² + 2as `` v = √(u² + 2as) u = √(v² − 2as) a = (v² − u²)/(2s) s = (v² − u²)/(2a) ``
Wenn die Größe unter der Quadratwurzel negativ wird, erreicht das Objekt diese Verschiebung nie. Eine Kugel, die bei 10 m/s aufgeworfen wird, kann nicht 20 m erreichen, und der Taschenrechner sagt das, anstatt eine imaginäre Zahl zurückzugeben.
Lösen Sie für die Endgeschwindigkeit gegeben u, a und t
Ein Auto fährt mit 5 m/s ab und beschleunigt mit 2 m/s² für 3 Sekunden. Seine Endgeschwindigkeit beträgt 11 m/s. 1. Listen Sie auf, was bekannt ist. u = 5 m/s, a = 2 m/s², t = 3 s. Verschiebung wird weder gegeben noch verlangt.
2. Wähle die Gleichung. Keine Verschiebung, daher gilt die Gleichung, die s weglässt: v = u + at.
3. Ersatz. v = 5 + (2 × 3)
4. Lösen. v = 5 + 6 = 11 m/s
Der Rechner gibt auch die fünfte Variable zurück. Mit u, a, t und nun v alle bekannt, folgt die Verschiebung aus s = ½(u + v)t:
s = 1/2(5 + 11) × 3 = 1/2 × 16 × 3 = 24 m
Das Auto legt also 24 Meter zurück und erreicht dabei 11 m/s. Beide Unbekannten wurden gelöst, zwei Gleichungen, und die zweite verwendete die Antwort der ersten.
Lösen Sie ein Zwei-Schritt-Problem
Viele Probleme benötigen zwei Gleichungen in der Folge, und hier geht die Handrechnung schief: Die Leute wählen eine Gleichung, stellen fest, dass ihnen ein Wert fehlt, und fangen von vorne an, anstatt ihn zuerst zu lösen. Ein Radfahrer bremst von 27 m/s auf 9 m/s bei −2 m/s² ab.
Wie weit reisen sie und wie lange dauert es?
Schritt 1: Zeit finden. Bekannt: u = 27, v = 9, a = −2. Keine Verschiebung, also verwenden Sie v = u + at umgeordnet für t:
t = (v − u)/a = (9 − 27)/(−2) = (−18)/(−2) = 9 s
Schritt 2: Verschiebung finden. Jetzt sind u, v, a und t alle bekannt. Verwenden Sie s = ½(u + v)t:
s = 1/2(27 + 9) × 9 = 1/2 × 36 × 9 = 162 m
Beachten Sie die beiden negativen Zahlen, die sich schrittweise aufheben 1. Eine negative Beschleunigung mit abnehmender Geschwindigkeit ergibt eine positive Zeit, wie sie es tun muss. Wenn eine Zeit negativ ist, ist irgendwo im Aufbau ein Zeichen falsch gelaufen.
Der Taschenrechner verkettet diese Schritte automatisch und zeigt beide an, sodass ein Zwei-Gleichungsproblem nicht mehr Eingabe benötigt als ein Ein-Gleichungs-Problem.
Lies die Bewegungsdiagramme
Drei Graphen beschreiben dieselbe Bewegung, und jede Form ergibt sich aus den Gleichungen. Der Rechner zieht alle drei aus deinen gelösten Werten. Verschiebung gegen die Zeit. Bei konstanter Beschleunigung ist dies eine Parabel, weil s von t² abhängt. Ihr Gradient an jedem Punkt ist die Geschwindigkeit zu diesem Moment, eine steilere Kurve bedeutet eine Beschleunigung.
Geschwindigkeit gegen die Zeit. Eine gerade Linie, weil v = u + at linear ist in t. Ihr Gradient ist die Beschleunigung, und ihr vertikaler Schnittpunkt ist die Anfangsgeschwindigkeit.
Beschleunigung gegen die Zeit. Eine horizontale Linie, weil die Beschleunigung konstant ist. Das ist die Annahme, auf der das gesamte Thema basiert.
Die erdenkliche Beziehung: Die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen ist gleich der Verschiebung. Bei konstanter Beschleunigung ist diese Fläche ein Trapez mit parallelen Seiten u und v und Breite t, und ihre Fläche ist ½(u + v)t, was eine der vier Gleichungen ist. Der Graph und die Gleichung sind dieselbe Aussage.
Der Rechner markiert diesen Bereich im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Es ist eine Standardprüfungsfrage und leichter einmal zu sehen als auswendig zu lernen.
Verstehen Sie gleichmäßig beschleunigte Bewegungen
Diese vier Gleichungen gelten nur, wenn die Beschleunigung konstant ist. Das bedeutet "gleichmäßig beschleunigt", und es ist eine reale Einschränkung und keine Formalität.
Konstante Beschleunigung deckt einen großen Teil der einführenden Probleme ab: ein Objekt im freien Fall nahe der Erdoberfläche mit vernachlässigtem Luftwiderstand, ein Fahrzeug bremst mit gleichmäßiger Geschwindigkeit, ein Puck, der mit konstanter Reibung über Eis gleitet.
In jedem Fall ändert sich die Kraft, die die Beschleunigung erzeugt, während der Bewegung nicht.
Er deckt keine Bewegung ab, bei der die Beschleunigung variiert. Ein Auto, dessen Fahrer das Gaspedal locker nimmt, eine federgetriebene Schwingung, bei der die Kraft vom Verdrängung abhängt, ein fallendes Objekt, bei dem der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit wächst, keines davon lässt sich mit SUVAT lösen. Diese erfordern Analysis, oder das Problem muss in Abschnitte unterteilt werden, über denen die Beschleunigung ungefähr konstant ist.
Eine nützliche Kontrolle: Wenn das Problem eine Kraft beschreibt, die sich während der Bewegung ändert, gelten die vier Gleichungen nicht. Wenn die Kraft konstant ist, tun sie es.
Nutze die Standardschwerkraft für den freien Fall
Freifallprobleme setzen die Beschleunigung auf g, die Beschleunigung durch die Erdschwerkraft, die genau als 9.80665 m/s² definiert ist. Die meisten Lehrbücher sind etwa 9.81 oder 9.8, und jedes der drei ist für den Unterricht in Ordnung, solange man konsistent ist.
Das Vorzeichen hängt von deiner Konvention ab. Wenn man als positiv aufnimmt, ist g negativ bei −9.80665 m/s²; als positiv abschreiben wird es positiv. Beides funktioniert. Wichtig ist, dass jede Größe im Problem dieselbe Konvention verwendet und du angibst, welche du gewählt hast.
Ein aus der Ruhe fallendes Objekt fällt mit dir = 0. Nach 3 Sekunden, als positiv abgeschrieben:
s = ut + 1/2at² = 0 + 1/2 × 9.80665 × 3² = 1/2 × 9.80665 × 9 = 44.13 m
Zwei Dinge werden dadurch ignoriert. Luftwiderstand, der für alles Leichte oder Schnelle von Bedeutung ist, eine Feder und ein Hammer fallen nur im Vakuum zusammen, und ein Fallschirmspringer erreicht gerade deshalb die Endgeschwindigkeit, weil der Luftwiderstand wächst, bis er das Gewicht ausbalanciert. Und lokale Variationen in g, die von etwa 9.764 bis 9.834 m/s² über die Erdoberfläche mit Breitengrad und Höhe reicht. Beides spielt keine Rolle für ein Lehrbuchproblem; beides ist für die tatsächliche Messung wichtig.
Häufig gestellte Fragen
Was sind die SUVAT-Gleichungen?
SUVAT ist eine Eselsbrücke für die fünf Variablen bei konstanter Beschleunigung: Verschiebung (s), Anfangsgeschwindigkeit (u), Endgeschwindigkeit (v), Beschleunigung (a) und Zeit (t). Vier Gleichungen verbinden sie, wobei jede eine Variable weglässt. Wenn man drei kennt, findet man die anderen beiden, weshalb jedes Lehrbuchproblem genau drei liefert.
Welche kinematische Gleichung sollte ich verwenden?
Identifizieren Sie die Variable, die Sie weder kennen noch brauchen, und verwenden Sie dann die Gleichung, die sie weglässt. Ohne Verschiebung verwenden Sie v = u + at. Ohne Endgeschwindigkeit verwenden Sie s = ut + ½at². Ohne Beschleunigung verwenden Sie s = ½(u + v)t. Ohne Zeit verwenden Sie v² = u² + 2as. Der Kinematikrechner nennt die Gleichung und den Grund für jedes eingegebene Problem.
Was ist gleichmäßig beschleunigte Bewegung?
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung während der gesamten Zeit konstant bleibt. Freier Fall mit vernachlässigtem Luftwiderstand, stetiges Bremsen und konstante Kraftbewegung qualifizieren alle. Bewegung, bei der sich die Kraft während des Intervalls ändert, eine schwingende Feder, ein Objekt, das die Endgeschwindigkeit erreicht, nicht, und die vier kinematischen Gleichungen können nicht darauf angewendet werden.
Funktionieren die kinematischen Gleichungen für den freien Fall?
Ja. Der freie Fall nahe der Erdoberfläche hat eine konstante Beschleunigung von 9.80665 m/s², daher gelten alle vier Gleichungen mit a auf g gesetzt. Wählen Sie eine Vorzeichenkonvention und halten Sie sie: Nimmt man als positiv, wird g negativ. Die Gleichungen vernachlässigen den Luftwiderstand, daher sind sie für dichte, kompakte Objekte über Kurzfänge genau und für leichte oder schnelle ungenau.
Warum brauche ich drei Werte, um ein Problem zu lösen?
Die vier Gleichungen enthalten jeweils vier der fünf Variablen, sodass jede einzelne Gleichung drei bekannte benötigt, um ihre vierte zu lösen. Mit drei bekannten Gleichungen kann der Taschenrechner immer eine weitere finden, und mit vier die fünfte. Zwei Werte lassen in jeder Gleichung mehr als einen unbekannt, und das System hat keine eindeutige Lösung.
Kann die Beschleunigung negativ sein?
Ja, und das bedeutet in der Regel Verzögerung. Beschleunigung ist ein Vektor, daher zeichnet ihr Zeichen die Richtung relativ zu deiner gewählten positiven Achse auf. Ein Objekt, das sich in positive Richtung verlangsamt, hat eine negative Beschleunigung. Ein Objekt, das in negativer Richtung beschleunigt, hat ebenfalls eine negative Beschleunigung. Das Zeichen beschreibt die Richtung, nicht ob etwas beschleunigt.
Was passiert, wenn das Objekt die Richtung ändert?
Die Gleichungen behandeln das korrekt, solange die Beschleunigung konstant bleibt und die Vorzeichen konsistent sind. Ein nach oben geworfener Ball hat eine positive Geschwindigkeit, dann oben null, dann negativ auf dem Weg nach unten, wobei g durchgehend negativ ist. Seine Verschiebung beim Fangen ist null, während die zurückgelegte Strecke das Doppelte der Spitzenhöhe beträgt, weshalb die beiden Größen nicht austauschbar sind.
Berücksichtigen diese Gleichungen den Luftwiderstand?
Nein. Die kinematischen Gleichungen gehen von konstanter Beschleunigung aus, und der Luftwiderstand nimmt mit der Geschwindigkeit zu, sodass ein Objekt, das ihn erfährt, nicht gleichmäßig beschleunigt. Die Ergebnisse sind für dichte, kompakte Objekte über kurze Entfernungen korrekt und zunehmend falsch bei leichten Objekten, hohen Geschwindigkeiten oder langen Fällen. Ein Fallschirmspringer, der die Endgeschwindigkeit erreicht, ist der deutlichste Fall, in dem er komplett versagt.
Warum liefert das Lösen für Zeit manchmal zwei Antworten?
Weil s = ut + ½at² quadratisch in t ist und ein Projektil eine gegebene Höhe zweimal durchschreitet, einmal steigt, einmal sinkt. Beide positiven Nullstellen sind physikalisch real und der Taschenrechner meldet beide, was dem Aufwärtsübergang entspricht. Negative Nullstellen beschreiben die Zeiten vor Beginn der Bewegung und werden verworfen.
Zusammenfassung
Der Kinematik-Rechner löst Konstantbeschleunigungsbewegungen aus beliebigen drei Punkten: Verschiebung, Anfangsgeschwindigkeit, Endgeschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit, gibt die übrigen beiden zusammen mit der verwendeten Gleichung und dem Grund für diese Anwendung zurück.
Vier Gleichungen beschreiben diese Bewegung und jede lässt genau eine Variable aus, sodass die Auswahlregel einfach die Gleichung verwendet, die die Größe weglässt, die man weder kennt noch benötigt.
Probleme, die zwei Gleichungen erfordern, werden automatisch in eine Kette geschaltet. Die Gleichungen gelten nur, wenn die Beschleunigung konstant ist, was freien Fall mit vernachlässigtem Luftwiderstand und gleichmäßigem Bremsen abdeckt, aber Federn, widerstandsbegrenzte Fälle und jede Bewegung, bei der sich die Kraft während des Intervalls ändert, ausschließt.