Der Standardabweichungsrechner misst, wie weit die Werte in einem Datensatz von ihrem Mittelwert entfernt sind, und gibt je nach Darstellung der Daten entweder die Stichprobenstandardabweichung oder die Standardabweichung der Population zurück. Fügen Sie Werte ein, die durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennt sind, und der Rechner liefert das Ergebnis zusammen mit der Varianz, dem Mittelwert, der Summe der Quadrate und einer Schritttabelle, die jede verwendete Abweichung zeigt.
Die Stufentabelle ist wichtiger als die Zahl. Die meisten Leute, die hierher kommen, müssen die Berechnung für die Kursarbeit von Hand reproduzieren, und ein Ergebnis ohne Arbeit lehrt nichts.
Berechnen Sie die Standardabweichung aus einem Datensatz
Die Standardabweichung beantwortet eine Frage: Wie verteilt sind diese Daten? Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Mittelwert gruppieren. Eine große bedeutet, dass sie gestreut sind. Zwei Datensätze können einen identischen Mittelwert teilen und völlig unterschiedliche Situationen beschreiben, und die Standardabweichung trennt sie.
Füge deine Werte in das Datenfeld ein. Kommas, Leerzeichen, Tabos und Zeilenumbrüche funktionieren alle, daher muss eine direkt aus einer Tabelle kopierte Spalte nicht neu formatiert werden. Der Taschenrechner zeigt direkt unter dem Feld an, wie viele Werte er gelesen hat, vergleiche diese mit dem, was du vor dem Lesen eingefügt hast, denn ein abweichendes Zeichen ist die häufigste Ursache für eine falsche Antwort.
Der Taschenrechner sortiert dann die Daten, berechnet den Mittelwert und arbeitet von dort aus nach außen. Jeder Zwischenwert wird angezeigt, sodass man an jedem Schritt folgen oder eine manuelle Berechnung überprüfen kann.
Wählen Sie zwischen Stichprobe und Population
Diese Wahl ändert die Antwort, und es ist das eine Kriterium auf dieser Seite, das es wert ist, vor allem anderen richtig zu bekommen. Die beiden Formeln unterscheiden sich nur in ihrem Nenner, aber bei kleinen Datensätzen ist die Lücke erheblich. Verwenden Sie Populationsstandardabweichung (σ), wenn Ihre Daten jedes Mitglied der Gruppe umfassen, die Sie beschreiben möchten.
Die Testergebnisse aller 24 Schüler in einer Klasse, wenn der Kurs das ist, was dir wichtig ist. Jede Messung aus einem abgeschlossenen Jahrgang. Der Nenner ist N, die volle Anzahl.
Verwenden Sie Stichprobenstandardabweichungen (s), wenn Ihre Daten eine Teilmenge aus einer größeren Gruppe sind und Sie die Verteilung dieser größeren Gruppe schätzen möchten. Eine Umfrage unter 200 Wählern, die für einen nationalen Wahlkreis vertreten. Dreißig gemessene Komponenten, die einen Produktionslauf repräsentieren. Der Nenner ist n − 1.
Die Stichprobe ist in der Praxis der häufigere Fall, weshalb dieser Rechner standardmäßig darauf zurückfällt. Die meisten realen Daten sind eine Stichprobe von etwas, und die Betrachtung einer Stichprobe als Population ergibt eine systematisch zu kleine Zahl.
Wenn du von einem Lehrbuchproblem arbeitest, steht fast immer in der Frage, welches sie möchte. Achte auf die Wörter "Population" oder "Stichprobe" oder auf einen Ausdruck wie "alles" versus "eine zufällige Auswahl von".
Anwendung der Standardabweichungsformel
Beide Formeln folgen denselben fünf Schritten und unterscheiden sich erst beim vierten Schritt.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Daran arbeiten:
1. Finde den Mittelwert. Addiere jeden Wert und teile durch die Zahl. 2. Finde jede Abweichung. Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert. Einige sind negativ. 3. Quadrieren Sie jede Abweichung. Dies entfernt die Negativen und gibt Werten, die weit vom Mittelwert entfernt sind, mehr Gewicht. Die Summe ist die Summe der Quadrate. 4. Teilen. Durch N für eine Population, durch n − 1 für eine Stichprobe. Das Ergebnis ist die Varianz. 5. Nimm die Quadratwurzel. Das gibt die Antwort zu den ursprünglichen Einheiten zurück.
Schritt 3 ist der Punkt, an dem die Negativen verschwinden, und Schritt 5 ist der Grund, warum die Quadratwurzel überhaupt existiert. Das Quadrieren der Abweichungen verschiebt das Ergebnis in quadratische Einheiten, quadratierte Markierungen, quadratierte Zentimeter, die nicht direkt interpretiert werden können. Die Quadratwurzel bringt es auf etwas zurück, das mit den ursprünglichen Messungen vergleichbar ist.
Berechnen Sie die Standardabweichung für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Diese achtwertige Menge liefert eine Populationsstandardabweichung von genau 2 und eine Stichprobenabweichung von 2.138. Jeder darunterliegende Schritt kann von Hand überprüft werden. 1. Finde den Mittel. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Finde jede Abweichung und quadriere sie.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Teilen, dann die Quadratwurzel nehmen.
Bevölkerung: 32 ÷ 8 = 4 und √4 = 2 Beispiel: 32 ÷ 7 = 4.571, und √4.571 = 2.138
Zwei Dinge sind zu beachten. Die Spalte Abweichungen summiert sich genau zu null, und das wird sie immer tun, das ist eine Eigenschaft des Mittelwerts und eine nützliche Kontrolle, dass Sie keinen arithmetischen Versatz gemacht haben. Und die beiden Antworten unterscheiden sich um 6.9% bei acht Werten. Diese Lücke ist nicht rundend. Sie ist die Korrektur, die im nächsten Abschnitt beschrieben wird.
Lesen Sie die Abweichungsstufentabelle
Die Schritttabelle listet jeden Wert auf, seine Abweichung vom Mittelwert und diese Abweichung quadriert, mit Spaltentotalen am unteren Rand. Der Rechner baut sie für die Daten auf, die du eingibst. Lies sie von links nach rechts und die gesamte Formel ist sichtbar.
Die mittlere Spalte zeigt, welche Werte den Mittelwert nach oben ziehen und welche ihn nach unten ziehen, und sie summiert immer null. Die rechte Spalte zeigt, welche Werte das Ergebnis dominieren; im obigen Beispiel trägt der einzelne Wert von 9 16 zum Gesamtwert 32 bei, also die Hälfte der Streuung aus einer Beobachtung von acht.
Diese letzte Beobachtung ist es wert, sich anzuhalten, weil sie erklärt, warum Standardabweichungen empfindlich gegenüber Ausreißern sind. Quadrieren bedeutet, dass ein Wert drei Einheiten vom Mittelwert entfernt neunmal so viel beiträgt wie ein Wert, der eine Einheit entfernt ist. Eine extreme Beobachtung kann das Ergebnis erheblich verändern, weshalb ein Boxplot oder ein Blick auf die Rohdaten jede Standardabweichung begleiten sollte, auf die Sie sich verlassen.
Für Datensätze über 30-Werten klappt die Tabelle auf die erste und letzte fünf Zeilen mit intakten Summen zusammen. Die vollständige Tabelle bleibt verfügbar und wird als tab-getrennte Werte kopiert, um sie in eine Tabelle oder einen Bericht einzufügen.
Verstehen Sie, warum die Beispielformel durch n − 1 geteilt wird
Dies ist die am häufigsten gestellte Frage zur Standardabweichung, und die übliche Antwort "sie korrigiert für Verzerrungen" erklärt nichts. Hier ist, was tatsächlich passiert. Wenn Sie eine Stichproben-Standardabweichung berechnen, kennen Sie den Populationsmittelwert nicht. Sie verwenden stattdessen den Stichprobenmittelwert.
Aber der Stichprobenmittelwert wird *aus denselben Werten* berechnet, was bedeutet, dass er näher an ihnen liegt als der wahre Populationsmittelwert. Er ist per Konstruktion der Punkt, der die Summe der quadratischen Abweichungen für diese spezielle Stichprobe minimiert.
Also ist jede Messabweichung etwas zu klein. Nicht zufällig zu klein, systematisch, in eine Richtung, jedes Mal. Teilt man durch n, erhält man eine Varianz, die die Populationsvarianz konstant unterschätzt.
Teilt man durch n − 1, kompensiert man das stattdessen. Die Anpassung wird Besselsche Korrektur genannt, und die n − 1 sind die Freiheitsgrade: Sobald der Mittelwert festgelegt ist, können nur n − 1 der Abweichungen unabhängig voneinander variieren, da die letzte durch die Anforderung erzwungen wird, dass sie sich zu null summieren.
Die Größe der Korrektur hängt vollständig von der Stichprobengröße ab:
| Stichprobengröße | Unterschied zwischen der Division durch n − 1 und n |
|---|---|
| 5 | 25% größere Varianz |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
Bei n = 5 verändert die Entscheidung die Antwort wesentlich. Nach ein paar hundert Werten ist sie praktisch keine Rolle mehr. Deshalb wird die Unterscheidung in Einführungskurzen geübt, wo die Beispiele klein sind, und deshalb denken Praktiker, die mit großen Datensätzen arbeiten, selten darüber nach.
Interpretieren Sie einen Standardabweichungswert
Eine Standardabweichung allein bedeutet wenig. Sie wird in den Einheiten der ursprünglichen Daten ausgedrückt, sodass ein Wert von 12 je nach gemessenem und Mittelwert enorm oder trivial sein kann. Zwei Möglichkeiten, dem Kontext zu geben.
Vergleichen Sie es mit dem Mittelwert. Der Variationskoeffizient teilt die Standardabweichung durch den Mittelwert und drückt das Ergebnis als Prozentsatz aus. Eine Standardabweichung von 12 gegenüber einem Mittelwert von 500 ist eine CV von 2.4%, was eng ist. Gegenüber einem Mittelwert von 20 ist es 60%, was enorm ist. Der CV ermöglicht es auch, die Verteilung zwischen Datensätzen zu vergleichen, die in verschiedenen Einheiten gemessen werden, was eine rohe Standardabweichung nicht kann.
Verwenden Sie die empirische Regel. Für Daten, die einer ungefähr normalen Verteilung folgen, liegen etwa 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts, etwa 95% innerhalb von zwei und etwa 99.7% innerhalb von drei. Ein Test mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung von 8 platziert etwa zwei Drittel der Schüler zwischen 62 und 78 und eine Punktzahl von 94, drei Standardabweichungen höher, in die obersten 0.15%.
Die empirische Regel gilt nur für ungefähr normale Daten. Bei stark verzerrten Verteilungen fällt sie stark aus, und Einkommensdaten sind das Standardbeispiel: Der Mittelwert liegt über dem Median, die Verteilung hat einen langen rechten Schwanz, und "innerhalb von zwei Standardabweichungen" beschreibt nicht mehr 95% von irgendetwas. Überprüfe die Form deiner Daten mit einem Histogramm, bevor du dich auf die Regel stützst.
Berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts
Der Standardfehler misst die Genauigkeit des Mittelwerts selbst und nicht die Verteilung der einzelnen Werte. Er beantwortet eine andere Frage: Wenn diese Stichprobe erneut entnommen würde, wie stark würde sich der Mittelwert bewegen?
SE = s / √nFür die Beispielmenge gilt SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Beachten Sie das √n im Nenner. Die Vervierfachung der Stichprobengröße halbiert den Standardfehler, was der mathematische Grund ist, warum größere Stichproben zuverlässigere Schätzungen liefern, und der Grund, warum die Erträge abnehmen. Der Übergang von den Beobachtungen von 100 zu 400 halbiert die Unsicherheit im Mittelwert. Der Übergang von 400 zu 800 verbessert sie nur um 29%.
Der Standardfehler ist die Grundlage der Konfidenzintervalle und die Zahl, die angegeben werden sollte, wenn man berichtet, wie gut ein Stichprobendurchschnitt einen Populationsmittelwert festhält.
Verwenden Sie in der Praxis Standardabweichung
An vier Stellen leistet das Messmaß echte Arbeit und signalisiert, was eine Veränderung tatsächlich signalisiert. Qualitätskontrolle. Eine Produktionslinie wird auf der Standardabweichung einer gemessenen Dimension überwacht, nicht nur auf deren Durchschnitt. Ein Prozess kann einen perfekten Mittelwert halten, während die Streuung größer wird, und eine Verbreiterung bedeutet, dass mehr Teile außerhalb der Toleranz fallen.
Kontrollkarten weisen auf eine steigende Standardabweichung hin, bevor ein einzelnes Teil die Inspektion nicht besteht.
Testergebnisse und Benotung. Die Standardabweichung wandelt einen Rohwert in eine Position um. Ein 78 bedeutet nichts, bis man weiß, dass der Mittelwert 65 und die Standardabweichung 7 ist, dann liegt der Wert fast zwei Standardabweichungen über dem Durchschnitt. Genau diese Berechnung führt ein Z-Score durch.
Anlagerisiko. Volatilität ist die Standardabweichung der Renditen. Zwei Fonds mit durchschnittlich 8% jährlich sind keine gleichwertigen Anlagen, wenn einer eine Standardabweichung von 3% und der andere von 22% hat, der zweite führt zu Jahren, die die Nerven eines Anlegers prüfen, und die Renditereihenfolge ist für jeden, der Einkommen zieht, von Bedeutung.
Messung und Instrumentierung. Wiederholte Messungen derselben Streugröße und ihre Standardabweichung quantifizieren die Genauigkeit des Instruments. So stellt ein Labor Unsicherheit fest und werden zwei Messinstrumente verglichen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist Standardabweichung?
Die Standardabweichung misst, wie weit die Werte in einem Datensatz typischerweise von ihrem Mittelwert entfernt liegen, der in denselben Einheiten wie die ursprünglichen Daten ausgedrückt wird. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass sich die Werte in der Nähe des Mittelwerts gruppieren; eine große bedeutet, dass sie sich weit streuen. Sie wird berechnet, indem jede Abweichung vom Mittelwert quadriert, diese Quadrate gemittelt und die Quadratwurzel genommen wird.
Sollte ich Stichproben- oder Populationsstandardabweichung verwenden?
Verwenden Sie die Populationsstandardabweichung, wenn Ihre Daten jedes Mitglied der von Ihnen beschriebenen Gruppe abdecken, und teilen Sie durch N. Verwenden Sie die Stichproben-Standardabweichung, wenn Ihre Daten eine Teilmenge einer größeren Gruppe darstellen, und teilen Sie durch n − 1. Die Stichprobe ist in der Praxis häufiger, da die meisten realen Daten eine Stichprobe von etwas sind. Lehrbuchfragen geben fast immer an, welche gewünscht sind.
Warum wird die Stichprobenformel durch n − 1 geteilt?
Da der Stichprobenmittelwert aus denselben Werten berechnet wird, an denen Sie Abweichungen messen, liegt er näher an diesen als der wahre Populationsmittelwert. Jede Abweichung ist daher systematisch zu klein, und eine Division durch n würde die Populationsvarianz konsequent unterschätzen. Das Teilen durch n − 1, bekannt als Bessels Korrektur, kompensiert. Bei n = 10 ergibt es eine Differenz von 11%; bei n = 1,000, 0.1%.
Was ist eine gute Standardabweichung?
Es gibt keinen universell guten Wert, da die Standardabweichung die Einheiten der Daten trägt. Beurteile sie mit dem Mittelwert anhand des Variationskoeffizienten: Eine Standardabweichung, die 5% des Mittelwerts beträgt, zeigt enge Daten an, während 50% eine breite Streuung anzeigt. Was als akzeptabel gilt, hängt vollständig vom jeweiligen Fachgebiet ab; eine Toleranz in der Herstellung und eine Reihe von Umfrageantworten haben sehr unterschiedliche Erwartungen.
Wie unterscheidet sich die Standardabweichung von der Varianz?
Die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert; die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel. Die Varianz liegt in quadratischen Einheiten vor, die nicht direkt gegen die ursprünglichen Messungen interpretiert werden können, daher wird die Quadratwurzel genommen, um die Abbildung auf nutzbare Einheiten zurückzugeben. Beide beschreiben die gleiche Streuung, und die Standardabweichung ist die, die Sie melden.
Was sagt die empirische Regel?
Für ungefähr normalverteilte Daten liegen etwa 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts, 95% innerhalb von zwei und 99.7% innerhalb von drei. Ein Test mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung von 8 platziert daher etwa zwei Drittel der Werte zwischen 62 und 78. Die Regel fällt bei stark verzerrten Daten zusammen, daher sollten Sie zuerst die Form der Verteilung überprüfen.
Kann die Standardabweichung negativ sein?
Nein. Standardabweichung ist die Quadratwurzel eines Durchschnitts quadratischer Werte, daher kann sie niemals kleiner als null sein. Sie ist genau null nur, wenn jeder Wert im Datensatz identisch ist, was bedeutet, dass es überhaupt keine Streuung gibt. Ein negatives Ergebnis weist auf einen Rechenfehler hin, meist einen Vorzeichenfehler im Abweichungsschritt.
Was ist der Standardfehler und wie unterscheidet er sich?
Die Standardabweichung beschreibt die Verteilung einzelner Werte; der Standardfehler beschreibt, wie genau der Stichprobenmittelwert den Populationsmittelwert schätzt. Der Standardfehler entspricht der Standardabweichung der Stichprobe geteilt durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße, sodass sie mit wachsender Stichprobe schrumpft. Konfidenzintervalle werden aus Standardfehlern und nicht aus Standardabweichung aufgebaut.
Wie berechne ich die Standardabweichung in Excel?
Verwenden Sie =STDEV.S(range) für eine Stichprobe und =STDEV.P(range) für eine Population. Das ältere =STDEV() verhält sich wie STDEV.S und wird zur Kompatibilität beibehalten. Die Varianzfunktionen von Excel haben die gleiche Bezeichnung: VAR.S und VAR.P. Bestätigen Sie, welche von Ihren Zuweisungen erwartet werden, da die beiden auf kleinen Datensätzen unterschiedliche Zahlen liefern.
Zusammenfassung
Der Standardabweichungsrechner liefert entweder die Stichprobe oder die Populationsstandardabweichung aus jedem eingefügten Datensatz zusammen mit der Varianz, dem Mittelwert, der Summe der Quadrate und einer vollständigen Abweichungstabelle.
Beide Formeln quadrieren die Abweichung jedes Wertes vom Mittelwert, summieren diese Quadrate, teilen und nehmen die Quadratwurzel; sie unterscheiden sich nur darin, dass sie durch n − 1 für eine Stichprobe oder N für eine Population teilen.
Wählen Sie die Stichprobe, wenn die Daten eine größere Gruppe repräsentieren, was üblicherweise der Fall ist, und erwarten Sie nur auf kleinen Datensätzen einen sinnvollen Unterschied zwischen beiden, 11% bei zehn Werten, 1% bei hundert. Interpretieren Sie das Ergebnis anhand des Mittelwerts mit dem Variationskoeffizienten oder gegen die empirische Regel, wenn die Daten ungefähr normal sind, und denken Sie daran, dass Quadrierung das Maß gegenüber Ausreißern empfindlich macht.