Titolo SEO (54): Calcolatore di Varianza - Campione e Varianza della Popolazione Meta descrizione (154): Calcola la varianza campionaria o della popolazione da qualsiasi set di dati. Il Calcolatore di Varianza mostra la somma dei quadrati, ogni deviazione al quadrato e entrambe le formule.
Il Calcolatore di Varianza misura quanto lontani i valori di un insieme di dati si trovano dalla loro media in unità quadrate, restituendo la varianza del campione o la varianza della popolazione a seconda di ciò che i dati rappresentano. Incollare valori separati da virgole, spazi o interruzioni di riga, il calcolatore restituisce la varianza insieme alla somma dei quadrati, alla media e a una tabella a gradini di ogni deviazione al quadrato.
La varianza è la quantità sotto la radice quadrata in una deviazione standard. La maggior parte dei corsi richiede l'uno o l'altro, e mostrare sia il risultato dell'unità quadratica sia i passaggi che lo hanno prodotto è ciò che rende possibile un controllo manuale.
Calcolare la varianza da un insieme di dati
La varianza risponde a una sola domanda: quanto questi valori si dispersano attorno alla loro media, misurati in unità quadrate? Una varianza piccola significa che i punti si raggruppano strettamente. Una varianza grande significa che si disperdono. Due insiemi possono condividere la stessa media e comunque descrivere situazioni completamente diverse una volta che le loro varianze differiscono.
Incolla i valori nel campo dati. Virgole, spazi, tabulazioni e interruzioni di riga funzionano tutti, quindi una colonna copiata da un foglio di calcolo non necessita di riformattazione. Il calcolatore riporta quanti valori ha letto sotto il campo. Controlla che il valore sia quello che hai incollato prima di fidarti del risultato, perché un carattere vagante è la causa solita di una risposta sbagliata.
Scegli campione o popolazione prima di leggere il numero. Quella scelta cambia il denominatore e, su piccoli insiemi, la risposta stessa.
Applicare la formula della varianza
Entrambe le formule condividono i primi tre passaggi e si separano solo quando la somma dei quadrati viene divisa. Trovare la media, sottrarla da ciascun valore, quadrare quelle deviazioni, poi dividere per N per una popolazione o per n meno 1 per un campione.
Il quoziente è la varianza in unità quadrate; il Calcolatore di Deviazione Standard prende la radice quadrata come ulteriore passo.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)Lavorarci:
1. Trova la media. Aggiungi ogni valore e dividi per il conteggio. 2. Trova ogni deviazione. Sottrai la media da ogni valore. Alcuni sono negativi. 3. Quadrata ogni deviazione. I negativi scompaiono. Il totale della colonna è la somma dei quadrati (SS). 4. Dividere. Per N per una popolazione, per n − 1 per un campione. Quel quoziente è la varianza.
Il Calcolatore di Deviazione Standard fa un ulteriore passo: la radice quadrata. La varianza si ferma al passo 4, motivo per cui le sue unità sono quadrate. Per la scelta campione-popolazione-popolazione e la correzione di Bessel, vedi quella pagina; questa pagina possiede la meccanica della somma dei quadrati.
Leggi la somma dei quadrati
La somma dei quadrati è la somma di ogni deviazione al quadrato dalla media e dal numeratore di entrambe le formule di varianza. Le deviazioni grezze prima del quadrato si sommano sempre a zero quando la media proviene dagli stessi valori, il che è un rapido controllo aritmetico. La somma dei quadrati stessa non è mai negativa ed è uguale a zero solo quando ogni valore è uguale alla media.
SS = Σ(x − x̄)²In pratica contano due proprietà. Primo, le deviazioni grezze (prima del quadrato) sommano sempre a zero quando la media viene calcolata dagli stessi valori. Quel totale di colonna è un rapido controllo aritmetico. In secondo luogo, SS stesso non è mai negativo, perché ogni termine è un quadrato. SS è zero solo quando ogni valore è uguale alla media.
Su dati di grande magnitudine, preferisci il metodo a due passaggi mostrato qui (prima media, poi deviazioni) rispetto alla scorciatoia a passaggio singolo Σx² − (Σx)²/n. La scorciatoia si annulla catastroficamente quando i valori sono grandi e quasi uguali, il che è una modalità di guasto numerico nota piuttosto che una curiosità teorica.
Capire perché le deviazioni sono al quadrato
Senza squadra, le deviazioni positive e negative si annullano. Un insieme che si trova tre unità sopra la media su metà dei suoi punti e tre sotto sull'altra metà riporterebbe una deviazione totale di zero, il che fa finta che non ci sia alcuna differenza.
I valori assoluti fermerebbero anche la cancellazione, e la deviazione assoluta media è una misura alternativa reale. La squadratura è preferita nella statistica classica per due ragioni pratiche. Penalizza le grandi deviazioni più pesantemente di quelle piccole: un virguola tre unità dalla media contribuisce nove volte più di un punto a un'unità di distanza. E le funzioni quadrate sono differenziabili, il che rende la varianza la base per la regressione ai minimi quadrati e per molti metodi inferenziali.
Questa penalità è anche il motivo per cui la varianza (e la deviazione standard) reagiscono fortemente agli outlier. Un'osservazione estrema può dominare SS. Un box plot o un'analisi dei valori grezzi dovrebbe stare accanto a qualsiasi varianza che intendi riportare.
Calcolare la varianza per 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11
Questo insieme di otto valori fornisce una varianza di popolazione esattamente 4 e una varianza campionaria di 4.571. Ogni passaggio sottostante può essere controllato manualmente. (Un set di dati diverso dal Calcolatore di Deviazione Standard, quindi le due pagine non duplicano la stessa guida.)
1. Trova il modo di fare il meglio. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2. Trova ogni deviazione e squadrala.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Divide.
Popolazione: 32 ÷ 8 = 4 Esempio: 32 ÷ 7 = 4.571
Le deviazioni sommano a zero, come devono essere. Il valore 11 da solo contribuisce 16 del totale 32, metà della somma dei quadrati da un'osservazione su otto. Questa è la penalità di quadratura in una singola riga.
Comprendere le unità di varianza
La varianza è espressa in unità quadrate dei dati originali. Se le misurazioni sono segni da 100, la varianza è in segni quadrati. Se sono centimetri, la varianza è in centimetri quadrati. Queste unità non possono essere confrontate direttamente con una singola osservazione, motivo per cui i professionisti di solito riportano invece la deviazione standard.
Prendere la radice quadrata annulla il problema dell'unità:
σ = √σ² and s = √s²Per l'esempio risolto, √4 = 2 e √4.571 ≈ 2.138. Stessa distribuzione, confezionamento diverso. Usa la varianza quando una formula la richiede (ANOVA, molti output di regressione, alcuni modelli finanziari). Usa la deviazione standard quando hai bisogno di una cifra che un lettore può posizionare accanto alle misure grezze.
Varianza nelle formule successive
ANOVA, molti output di regressione e alcuni modelli di rischio consumano varianza direttamente anziché deviazione standard. Quando una formula scrive sigma quadrato, lascia il risultato in unità quadrate. Quando un rapporto necessita di una cifra che un lettore possa confrontare con le misurazioni grezze, prendere la radice quadrata e dichiarare che stai riportando deviazione standard.
Collegare le due pagine evita deliberatamente di duplicare la correzione di Bessel qui. Campione contro popolazione conta ancora per la varianza; la sezione di interpretazione sul Calcolatore di Deviazione Standard rimane il trattamento più approfondito del perché n meno 1 appare.
Domande frequenti
Cos'è la varianza?
La varianza è la media delle deviazioni quadratiche dalla media. La varianza della popolazione divide la somma dei quadrati per N; la varianza campionaria divide per n − 1. Il risultato è in unità quadrate dei dati originali, quindi una varianza di 4 su un insieme misurato in centimetri significa 4 centimetri quadrati di dispersione, non 4 centimetri.
Dovrei usare la varianza campionaria o la varianza di popolazione?
Usa la varianza di popolazione quando i dati coprono ogni membro del gruppo che stai descrivendo, e dividi per N. Usa la varianza campionaria quando i dati rappresentano un sottoinsieme che rappresenta un gruppo più grande, e dividi per n − 1. Il caso di esempio è il caso usuale nella pratica. Le domande da libro di testo quasi sempre indicano quale forma desiderano.
In cosa differisce la varianza dalla deviazione standard?
La varianza è la deviazione quadratica media; la deviazione standard è la sua radice quadrata. Entrambe descrivono la stessa distribuzione. La deviazione standard ritorna alle unità originali ed è la cifra che la maggior parte delle persone riporta. La varianza rimane in unità quadrate e appare all'interno di altre formule.
Perché le deviazioni sono quadrate?
Senza il quadrato, le deviazioni positive e negative si annullano e un insieme a distribuzione può sembrare privo di spread. Lo squaring rimuove il segno, pesa maggiormente le grandi deviazioni e produce una quantità che funziona perfettamente in formule successive come regressione e ANOVA.
La varianza può essere negativa?
No. La varianza è una media dei quadrati, quindi non può scendere sotto zero. È uguale a zero solo quando ogni valore dell'insieme è identico. Un risultato negativo significa un errore aritmetico, di solito un errore di segno prima di essere squadrato.
Qual è la somma dei quadrati?
La somma dei quadrati (SS) è Σ(x − x̄)², il totale di ogni deviazione quadratica dalla media. È il numeratore di entrambe le formule di varianza. Nell'esempio sopra, SS = 32.
Perché la varianza del campione si divide per n − 1?
Poiché la media campionaria è stimata dagli stessi valori, ogni deviazione è sistematicamente un po' troppo piccola. Dividere per n sottostimetterebbe la varianza della popolazione. Dividere per n − 1 (correzione di Bessel) compensa. Il Calcolatore di Deviazione Standard copre questa correzione in modo più dettagliato.
Come calcolo la varianza in Excel?
Usa =VAR.S(range) per un campione e =VAR.P(range) per una popolazione. Il vecchio =VAR() si comporta come VAR.S. Conferma quale forma si aspetta il tuo assegno, perché i due non sono d'accordo su piccoli insiemi di dati.
Una varianza maggiore significa sempre un set di dati peggiore?
Non da sola. La varianza comporta unità quadrate e deve essere letta rispetto alla scala dei dati. Una varianza di 4 sui valori vicini a 7 è sostanziale; la stessa varianza sui valori vicini a 700 è banale. Confronta con la media, oppure passa al coefficiente di variazione sul Calcolatore di Deviazione Standard, prima di giudicare "buono" o "cattivo".
Riepilogo
Il Calcolatore di Varianza restituisce varianza campionaria o di popolazione da qualsiasi insieme di dati incollati, con la somma dei quadrati, la media e una tabella di deviazione completa. Entrambe le formule quadrano ogni deviazione dalla media e dividono; differiscono solo per la divisione per n − 1 per un campione o per N per una popolazione.
La varianza vive in unità quadrate, motivo per cui la radice quadrata (deviazione standard) viene solitamente riportata per l'interpretazione. Usa questa pagina per il lavoro sulla somma dei quadrati; usa il Calcolatore di Deviazione Standard quando la domanda chiede una distribuzione nelle unità originali o per la correzione di Bessel in profondità.
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