QuickCalculators skriver om en andragradsekvation genom kvadratkomplettering, producerar vertexform och valfria rötter från den kompletterade kvadraten. Ange koefficienter för ax² + bx + c, och läs sedan halvkoefficientstegen, det kvadrerade binomet och vertexkoordinaterna.
Kvadratkomplettering är en metod, inte bara ett svar. Arbetsrutan visar varje addera-och-subtrahera-steg så att algebran förblir kontrollerbar för hand.
Komplettera kvadraten för en andragradsekvation
Kvadratkomplettering omvandlar ax² + bx + c till formen a(x − h)² + k (eller (x − h)² + k när a = 1). QuickCalculators skalrar till ledande koefficient 1 vid behov och bygger sedan det perfekta kvadrattrinomialet från den linjära termen.
Vertexform gör vertexen (h, k) läsbar direkt. Samma omskrivning stödjer lösning genom att isolera det kvadrerade binomet och ta kvadratrötter.
Följ stegen för kvadratkomplettering
För x² + bx + c med a = 1, ta hälften av b, kvadrera den hälften, och addera och subtrahera kvadraten så att ett perfekt kvadrattrinomial syns. QuickCalculators visar hälften av b, kvadraten och omgrupperingen till (x + b/2)² plus en konstant.
Exempelöversikt för x² + 6x + 5: hälften av 6 är 3, och 3² är 9. Skriv om som x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. När a ≠ 1, faktorisera a från x-termerna först och komplettera sedan kvadraten inuti.
Hitta vertexen från vertexform
I vertexform a(x − h)² + k är vertexen (h, k). Om a > 0 öppnar parabeln uppåt och (h, k) är ett minimum. Om a < 0 öppnar den nedåt och (h, k) är ett maximum. QuickCalculators rapporterar de koordinaterna från den kompletterade kvadraten.
För (x + 3)² − 4 är h = −3 och k = −4, så vertexen är (−3, −4). Teckenomsorg spelar roll: (x + 3) betyder h = −3, inte +3.
Lös andragradsekvationen genom kvadratkomplettering
Efter kvadratkomplettering, isolera det kvadrerade binomet och ta kvadratrötter på båda sidor. De två rötterna (när de finns över de reella) kommer från ±-steget. QuickCalculators kan fortsätta från vertexform till de lösningarna.
Från (x + 3)² − 4 = 0, flytta konstanten: (x + 3)² = 4, så x + 3 = ±2, alltså x = −1 eller x = −5.
Kontroll i den ursprungliga andragradsekvationen bekräftar båda rötterna.
Komplettera kvadraten för x² + 6x + 5
Fixturen kompletterar kvadraten för x² + 6x + 5 på QuickCalculators.
- Hälften av 6 är 3; kvadrera för att få 9.
- Skriv x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- Omgruppera som (x + 3)² − 4.
- Läs vertex (−3, −4). Att lösa (x + 3)² = 4 ger x = −1 och x = −5.
Undvik den här vanliga missuppfattningen
Ett vanligt fel är att glömma att balansera konstanten när (b/2)² läggs till, vilket ändrar uttryckets värde. Kvadratkomplettering adderar och subtraherar samma kvadrat, eller distribuerar noggrant när a ≠ 1. Att hoppa över den kompenserande subtraktionen uppfinner en annan andragradsekvation. QuickCalculators håller både den tillagda och den subtraherade kvadraten synliga.
Vanliga frågor
Vad betyder kvadratkomplettering?
Kvadratkomplettering skriver om en andragradsekvation så att ett perfekt kvadratbinom syns, vanligtvis till vertexform a(x − h)² + k.
Hur kompletterar man kvadraten för x² + 6x + 5?
Hälften av 6 är 3, och 3² är 9, så formen blir (x + 3)² − 4. Att ange de koefficienterna returnerar den fixturen.
Hur hittar man vertexen efter kvadratkomplettering?
Läs (h, k) från a(x − h)² + k. För (x + 3)² − 4 är vertexen (−3, −4).
Kan kvadratkomplettering lösa vilken andragradsekvation som helst?
Kvadratkomplettering löser vilken andragradsekvation som helst med reella eller komplexa rötter. Reella kvadratrotssteg kräver en icke-negativ höger sida efter isolering av kvadraten; annars är rötterna komplexa.
Hur hänger kvadratkomplettering ihop med den kvadratiska formeln?
Den kvadratiska formeln härleds genom kvadratkomplettering av ax² + bx + c i allmän form. Båda metoderna delar samma algebraiska kärna.
Vad händer om den ledande koefficienten inte är 1?
Faktorisera a från x²- och x-termerna först, komplettera kvadraten inuti parenteserna och distribuera sedan a tillbaka över det kvadrerade binomet och konstanten efter behov.
Sammanfattning
QuickCalculators skriver om andragradsekvationer genom kvadratkomplettering till vertexform och kan fortsätta till rötter. Ta hälften av b, kvadrera den hälften och balansera konstanten. Fixturen x² + 6x + 5 blir (x + 3)² − 4 med vertex (−3, −4) och rötter −1 och −5.
Addera och subtrahera alltid samma kvadrat så att värdet inte ändras.