QuickCalculators يعيد كتابة المعادلة التربيعية بإكمال المربع، وينتج شكل الرأس والجذور الاختيارية من المربع المكتمل. أدخل معاملات ax² + bx + c، ثم اقرأ خطوات نصف المعامل ومربع الحدين وإحداثيات قمة الرأس.
إكمال المربع هو وسيلة، وليس مجرد إجابة. تعرض لوحة العمل كل مرحلة من مراحل الجمع والطرح بحيث يظل الجبر قابلاً للتحقق يدويًا.
أكمل مربع الشكل التربيعي
إكمال المربع يحول ax² + bx + c إلى الصورة a(x − h)² + k (أو (x − h)² + k عندما يكون a = 1). QuickCalculators يتحول إلى معامل رئيسي 1 عند الحاجة، ثم يبني ثلاثية حدود المربع الكامل من الحد الخطي.
نموذج الرأس يجعل الرأس (h، k) قابلاً للقراءة في لمحة. نفس إعادة الكتابة تدعم الحل عن طريق عزل ذات الحدين التربيعيين وأخذ الجذور التربيعية.
اتبع استكمال الخطوات المربعة
بالنسبة لـ x² + bx + c مع a = 1، خذ نصف b، وقم بتربيع هذا النصف، وأضف واطرح المربع حتى يظهر ثلاثي الحدود مربعًا كاملاً. يُظهر QuickCalculators نصف b والمربع وإعادة التجميع في (x + b/2)² بالإضافة إلى ثابت.
مثال تفصيلي لـ x² + 6x + 5: نصف 6 هو 3، و3² هو 9. أعد الكتابة بالشكل x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. عندما يكون ≠ 1، قم بتحليل a من حدود x أولاً، ثم أكمل المربع الموجود بالداخل.
العثور على قمة الرأس من شكل قمة الرأس
في صيغة الرأس a(x − h)² + k، الرأس هو (h, k). إذا كانت a> 0، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى ويكون (h, k) هو الحد الأدنى. إذا كان < 0 فإنه يفتح للأسفل و (h, k) هو الحد الأقصى. QuickCalculators يُبلغ عن تلك الإحداثيات من المربع المكتمل.
من أجل (x + 3)² − 4، h = −3 و k = −4، لذا فإن الرأس هو (−3، −4). الحذر من الإشارة مهم: (x + 3) تعني h = −3، وليس +3.
حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع
بعد الانتهاء من المربع، قم بعزل ذات الحدين التربيعية وأخذ الجذور التربيعية من كلا الجانبين. الجذران (عندما يكونان موجودين فوق الواقع) يأتيان من الخطوة ±. QuickCalculators يمكن أن يستمر من شكل قمة الرأس إلى تلك الحلول.
من (x + 3)² − 4 = 0، انقل الثابت: (x + 3)² = 4، لذا x + 3 = ±2، وبالتالي x = −1 أو x = −5.
التحقق من المعادلة التربيعية الأصلية يؤكد كلا الجذرين.
أكمل مربع x² + 6x + 5
تُكمل التركيبة المربع لـ x² + 6x + 5 على QuickCalculators.
- نصف 6 هو 3؛ مربع للحصول على 9.
- اكتب x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- أعد التجميع كـ (x + 3)² − 4.
- قراءة قمة الرأس (−3، −4). حل (x + 3)² = 4 ينتج x = −1 وx = −5.
تجنب هذا المفهوم الخاطئ الشائع
من الأخطاء الشائعة نسيان موازنة الثابت عند إضافة (b/2)²، مما يؤدي إلى تغيير قيمة التعبير. إكمال المربع يضيف ويطرح نفس المربع، أو يوزع بعناية عندما يكون ≠ 1. يؤدي إسقاط الطرح التعويضي إلى ظهور معادلة تربيعية مختلفة. QuickCalculators يبقي كلاً من المربع المضاف والمطرح مرئيًا.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني إكمال المربع؟
يؤدي إكمال المربع إلى إعادة كتابة المعادلة التربيعية بحيث تظهر ذات الحدين في المربع الكامل، وعادة ما ينتج عنها شكل الرأس a(x − h)² + k.
كيف تكمل المربع لـ x² + 6x + 5؟
نصف 6 هو 3، و 3² هو 9، وبالتالي يصبح النموذج (x + 3)² − 4. يؤدي إدخال هذه المعاملات إلى إرجاع تلك المباراة.
كيف تجد الرأس بعد إكمال المربع؟
اقرأ (h, k) من a(x − h)² + k. بالنسبة إلى (x + 3)² − 4، الرأس هو (−3، −4).
هل يمكن أن يؤدي إكمال المربع إلى حل أي معادلة تربيعية؟
إكمال المربع يحل أي معادلة تربيعية لها جذور حقيقية أو مركبة. تتطلب خطوات الجذر التربيعي الحقيقي جانبًا أيمنًا غير سالب بعد عزل المربع؛ وإلا فإن الجذور معقدة.
كيف يرتبط إكمال المربع بالصيغة التربيعية؟
يتم اشتقاق الصيغة التربيعية بإكمال المربع على ax² + bx + c في الصورة العامة. كلتا الطريقتين تشتركان في نفس الجوهر الجبري.
ماذا لو لم يكن المعامل الرئيسي 1؟
قم بتحليل a من الحدين x² وx أولاً، وأكمل المربع الموجود داخل الأقواس، ثم قم بتوزيع الجزء الخلفي على مربع ذات الحدين والثابت حسب الحاجة.
ملخص
QuickCalculators يعيد كتابة المعادلات التربيعية عن طريق إكمال المربع في شكل الرأس ويمكنه الاستمرار حتى الجذور. نصف ب، قم بتربيع هذا النصف، ثم قم بموازنة الثابت. تصبح التركيبة x² + 6x + 5 (x + 3)² − 4 مع قمة الرأس (−3، −4) والجذور −1 و −5.
قم دائمًا بإضافة وطرح نفس المربع حتى لا تتغير القيمة.