QuickCalculators riscrive un trinomio di secondo grado completando il quadrato, producendo forma canonica e radici opzionali dal quadrato completato. Inserisci i coefficienti di ax² + bx + c, poi leggi i passaggi con mezzo coefficiente, il binomio al quadrato e le coordinate del vertice.
Completare il quadrato è un metodo, non solo una risposta. Il pannello di lavoro mostra ogni fase di addizione e sottrazione così l'algebra resta verificabile a mano.
Completare il quadrato di un trinomio
Completare il quadrato trasforma ax² + bx + c in una forma a(x − h)² + k (o (x − h)² + k quando a = 1). QuickCalculators riduce a coefficiente direttivo 1 quando serve, poi costruisce il trinomio quadrato perfetto dal termine lineare.
La forma canonica rende leggibile il vertice (h, k) a colpo d'occhio. La stessa riscrittura supporta la risoluzione isolando il binomio al quadrato e estraendo le radici.
Seguire i passaggi del completamento del quadrato
Per x² + bx + c con a = 1, prendere metà di b, elevare al quadrato quel valore e aggiungere e sottrarre il quadrato così compare un trinomio quadrato perfetto. QuickCalculators mostra metà di b, il quadrato e la riorganizzazione in (x + b/2)² più una costante.
Schema di esempio per x² + 6x + 5: metà di 6 è 3, e 3² è 9. Riscrivere come x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Quando a ≠ 1, fattorizzare a dai termini in x prima, poi completare il quadrato all'interno.
Trovare il vertice dalla forma canonica
Nella forma canonica a(x − h)² + k, il vertice è (h, k). Se a > 0 la parabola si apre verso l'alto e (h, k) è un minimo. Se a < 0 si apre verso il basso e (h, k) è un massimo. QuickCalculators riporta quelle coordinate dal quadrato completato.
Per (x + 3)² − 4, h = −3 e k = −4, quindi il vertice è (−3, −4). Attenzione ai segni: (x + 3) significa h = −3, non +3.
Risolvere il trinomio completando il quadrato
Dopo aver completato il quadrato, isolare il binomio al quadrato ed estrarre le radici da entrambi i lati. Le due radici (quando esistono sui reali) arrivano dal passo ±. QuickCalculators può proseguire dalla forma canonica fino a quelle soluzioni.
Da (x + 3)² − 4 = 0, spostare la costante: (x + 3)² = 4, quindi x + 3 = ±2, e x = −1 o x = −5.
Verificare nel trinomio originale conferma entrambe le radici.
Completare il quadrato di x² + 6x + 5
L'esempio di riferimento completa il quadrato di x² + 6x + 5 su QuickCalculators.
- Metà di 6 è 3; elevare al quadrato per ottenere 9.
- Scrivere x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- Riorganizzare come (x + 3)² − 4.
- Leggere vertice (−3, −4). Risolvere (x + 3)² = 4 dà x = −1 e x = −5.
Evitare questo errore comune
Un errore frequente è dimenticare di bilanciare la costante quando si aggiunge (b/2)², cambiando il valore dell'espressione. Completare il quadrato aggiunge e sottrae lo stesso quadrato, o distribuisce con attenzione quando a ≠ 1. Omettere la sottrazione compensante inventa un trinomio diverso. QuickCalculators mantiene visibili sia il quadrato aggiunto sia quello sottratto.
Domande frequenti
Cosa significa completare il quadrato?
Completare il quadrato riscrive un trinomio di secondo grado in modo che compaia un binomio quadrato perfetto, di solito producendo la forma canonica a(x − h)² + k.
Come si completa il quadrato di x² + 6x + 5?
Metà di 6 è 3, e 3² è 9, quindi la forma diventa (x + 3)² − 4. Inserire quei coefficienti restituisce questo risultato di riferimento.
Come si trova il vertice dopo aver completato il quadrato?
Leggere (h, k) da a(x − h)² + k. Per (x + 3)² − 4, il vertice è (−3, −4).
Completare il quadrato può risolvere qualsiasi trinomio?
Completare il quadrato risolve qualsiasi trinomio con radici reali o complesse. I passaggi con radice quadrata sui reali richiedono un lato destro non negativo dopo aver isolato il quadrato; altrimenti le radici sono complesse.
Come si collega il completamento del quadrato alla formula risolutiva?
La formula risolutiva deriva completando il quadrato su ax² + bx + c in forma generale. Entrambi i metodi condividono lo stesso nucleo algebrico.
Cosa succede se il coefficiente direttivo non è 1?
Fattorizzare a dai termini x² e x, completare il quadrato dentro le parentesi, poi ridistribuire a sul binomio al quadrato e sulla costante come serve.
Riepilogo
QuickCalculators riscrive trinomii completando il quadrato in forma canonica e può proseguire fino alle radici. Metà di b, elevare al quadrato quel valore e bilanciare la costante. L'esempio x² + 6x + 5 diventa (x + 3)² − 4 con vertice (−3, −4) e radici −1 e −5.
Aggiungere e sottrarre sempre lo stesso quadrato così il valore non cambia.