QuickCalculators risolve un'equazione cubica ax³ + bx² + cx + d = 0 per le sue radici e riporta quante radici reali implica il pattern del discriminante. Inserisci i quattro coefficienti, poi leggi le radici con verifica di Viète su somme e prodotti quando la verifica è mostrata.
Un cubico ha sempre tre radici contando la molteplicità nei complessi. Questa pagina enfatizza le radici reali di solito richieste e segnala le partner complesse quando compaiono.
Risolvere un'equazione cubica
Risolvere un cubico significa trovare tutti i valori di x che rendono ax³ + bx² + cx + d uguale a zero, con a ≠ 0. QuickCalculators usa un percorso risolutore cubico stabile e presenta le radici con molteplicità quando ci sono radici ripetute. Riduzioni al cubico depresso e passaggi in stile Cardano possono comparire nel pannello di lavoro per le lezioni; le radici numeriche restano l'output principale.
Mantenere sempre a ≠ 0.
Trovare le radici di un cubico
Un cubico ha o tre radici reali (contando la molteplicità) o una radice reale e due complesse coniugate quando i coefficienti sono reali. QuickCalculators elenca ogni radice e etichetta chiaramente i casi reali rispetto a quelli complessi.
Esempio di riferimento x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 si fattorizza come (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, quindi le radici sono 1, 2 e 3.
Radici multiple condividono lo stesso valore con molteplicità maggiore di uno.
Comprendere il discriminante di un cubico
Il discriminante cubico distingue tre radici reali distinte, una radice reale multipla o una radice reale con una coppia coniugata complessa. QuickCalculators può riassumere quel caso senza richiedere allo studente di espandere a mano l'intero polinomio discriminante. Un discriminante positivo per il cubico usuale a coefficienti reali corrisponde a tre radici reali distinte.
Discriminante zero segnala almeno una radice ripetuta. Discriminante negativo segnala una radice reale e due coniugate complesse. La formulazione esatta della soglia segue la definizione del discriminante del motore sulla pagina.
Verificare le radici con le formule di Viète
Le formule di Viète collegano le somme simmetriche elementari delle radici ai coefficienti. Per ax³ + bx² + cx + d = 0, la somma delle radici è −b/a e il prodotto delle radici è −d/a (con convenzioni di segno allineate alla forma monica). QuickCalculators può mostrare quelle verifiche dopo l'elenco delle radici.
Per le radici 1, 2 e 3 di x³ − 6x² + 11x − 6, la somma è 6 = −(−6)/1 e il prodotto è 6 = −(−6)/1. Verifiche di Viète fallite indicano errore nell'elenco delle radici.
Risolvere x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
L'esempio di riferimento risolve x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 su QuickCalculators.
- Inserire a = 1, b = −6, c = 11, d = −6.
- Ottenere radici 1, 2 e 3.
- Verificare: (1)(2)(3) = 6 e 1 + 2 + 3 = 6 coincidono con Viète per questo cubico monico.
- Espandere (x − 1)(x − 2)(x − 3) per recuperare il polinomio originale.
Evitare questo errore comune
Una credenza comune è che ogni cubico abbia tre radici reali distinte. Con coefficienti reali, un cubico può avere una sola radice reale mentre le altre due sono coniugate complesse. Graficamente significa un solo intersezione con l'asse x. QuickCalculators indica la ripartizione reale-complessa così non si assumono tre radici reali.
Domande frequenti
Cos'è un'equazione cubica?
Un'equazione cubica è un'equazione polinomiale di grado 3, tipicamente scritta ax³ + bx² + cx + d = 0 con a ≠ 0.
Quali sono le radici di x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Le radici sono 1, 2 e 3. Inserire quei coefficienti restituisce questo risultato di riferimento.
Quante radici ha un cubico?
Un cubico ha tre radici contando radici complesse e molteplicità. Il numero di radici reali distinte può essere uno o tre (contando un triplo o un doppio come reali ripetute).
Cos'è la formula di Viète per un cubico?
Per ax³ + bx² + cx + d = 0, la somma delle radici è −b/a e il prodotto delle radici è −d/a secondo le convenzioni di segno usuali per quella forma.
Un cubico può avere radici ripetute?
Sì. Una radice ripetuta ha molteplicità maggiore di uno e rende il discriminante zero. Il grafico è tangente all'asse x in quella radice.
Come si verificano le radici di un cubico?
Sostituire ogni radice nel polinomio, oppure usare le verifiche di somma e prodotto di Viète rispetto ai coefficienti.
Riepilogo
QuickCalculators risolve ax³ + bx² + cx + d = 0 e riporta radici reali e complesse con verifiche di Viète. L'esempio x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ha radici 1, 2 e 3. Non ogni cubico reale mostra tre radici reali distinte; una radice reale con coppia coniugata è comune.
Mantenere a ≠ 0 e verificare con sostituzione o Viète.