QuickCalculators résout une équation cubique ax³ + bx² + cx + d = 0 pour ses racines et rapporte combien de racines réelles implique le motif discriminant. Entrez les quatre coefficients, puis lisez les racines avec une vérification Vieta sur les sommes et produits lorsque la vérification est affichée.
Une cubique a toujours trois racines comptant la multiplicité dans les nombres complexes. Cette page met en avant les vraies racines dont les élèves ont généralement besoin et note les partenaires complexes lorsqu’ils apparaissent.
Résoudre une équation cubique
Résoudre une cubique signifie trouver toutes les x valeurs qui font ax³ + bx² + cx + d égales à zéro, avec un ≠ 0. QuickCalculators utilise un chemin de résolution cubique stable et présente des racines avec des multiplicités lorsque des racines répétées apparaissent. Des réductions cubiques déprimées et des pas de type Cardano peuvent apparaître dans le panneau de travail pour enseigner les constructions; les racines numériques restent la sortie principale.
Garde toujours un non zéro.
Trouvez les racines d’une cubique
Une cubique possède soit trois racines réelles (en comptant la multiplicité), soit une racine réelle et deux racines conjuguées complexes lorsque les coefficients sont réels. QuickCalculators énumère chaque racine et étiquette clairement les cas réels versus complexes.
Exemple de fixation x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 se factorise (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, donc les racines sont 1, 2 et 3.
Plusieurs racines partagent la même valeur avec une multiplicité supérieure à une.
Comprendre la discrimination d’une cubique
Le discriminant cubique distingue trois racines réelles distinctes, une racine réelle multiple ou une racine réelle avec une paire conjuguée complexe. QuickCalculators peut résumer ce cas sans que l’étudiant devienne à la main le polynôme discriminant complet. Un discriminant positif pour la cubique à coefficient réel usuel correspond à trois racines réelles distinctes.
Un discrimination zéro signale au moins une racine répétée. Un discriminant négatif signale une racine réelle et deux conjugués complexes. La formulation exacte du seuil suit la définition discriminante du moteur sur la page.
Vérifiez les racines avec les formules de Vieta
Les formules de Vieta relient les sommes symétriques élémentaires des racines aux coefficients. Pour ax³ + bx² + cx + d = 0, la somme des racines est égale à −b/a, et le produit des racines est égal à −d/a (avec des conventions de signe correspondant à la forme monique). QuickCalculators peut afficher ces vérifications après avoir listé les sources.
Pour les racines 1, 2 et 3 de x³ − 6x² + 11x − 6, la somme est 6 = −(−6)/1 et le produit est 6 = −(−6)/1. Un échec aux vérifications Vieta signifie une erreur de root listing.
Résoudre x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Le luminaire résout x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 sur QuickCalculators.
- Entrez a = 1, b = −6, c = 11, d = −6.
- Obtenez les racines 1, 2 et 3.
- Vérifier: (1)(2)(3) = 6 et 1 + 2 + 3 = 6 correspondent à Vieta pour ce cubique monique.
- Développez (x − 1)(x − 2)(x − 3) pour récupérer le polynôme original.
Éviter cette idée fausse courante
Une croyance courante est que chaque cubique possède trois racines réelles distinctes. Avec des coefficients réels, une cubique ne peut avoir qu’une seule racine réelle tandis que les deux autres sont des conjugués complexes. Graphiquement, cela signifie une véritable interception x. QuickCalculators énonce la division réel-complexe, donc trois listes réelles ne sont pas supposées.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une équation cubique?
Une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, généralement écrite ax³ + bx² + cx + d = 0 avec un ≠ 0.
Quelles sont les racines de x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Les racines sont 1, 2 et 3. Entrer ces coefficients permet de rendre cet exemple de référence.
Combien de racines une cubique a-t-elle?
Une cubique possède trois racines comptant les racines complexes et la multiplicité. Le nombre de racines réelles distinctes peut être un ou trois (en comptant un triple ou un double comme réels répétés).
Quelle est la formule de Vieta pour un cubique?
Pour ax³ + bx² + cx + d = 0, la somme des racines est −b/a et le produit des racines est −d/a selon les conventions signées standard pour cette forme.
Une cubique peut-elle avoir des racines répétées?
Oui. Une raison répétée a une multiplicité supérieure à un et fait naître le discriminant. Le graphe est tangent à l’axe des x à cette racine.
Comment vérifiez-vous les racines cubiques?
Substituez chaque racine dans le polynôme, ou utilisez les vérifications de somme et de produit de Vieta contre les coefficients.
Résumé
QuickCalculators résout ax³ + bx² + cx + d = 0 et rapporte les racines réelles et complexes avec des vérifications de Vieta. Le luminaire x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 a des racines 1, 2 et 3. Toutes les cubiques réelles ne montrent pas trois racines réelles distinctes; une racine réelle avec une paire conjuguée est courante.
Gardez un ≠ 0 et vérifiez avec la substitution ou Vieta.