QuickCalculators résout ax au carré plus bx plus c égal à zéro avec la formule quadratique, indique le cas du discriminant et écrit les racines exactes lorsque les radicaux se simplifient. Entrez les coefficients a, b et c, et lisez les deux racines, la valeur du discriminant et la forme complexe ou répétée le cas échéant.
Résoudre une équation quadratique avec la formule quadratique
Une équation quadratique est un polynôme de degré deux égalé à zéro. La formule quadratique renvoie les racines pour tout a non nul en combinant les coefficients dans une expression sous une racine carrée. QuickCalculators substitue les valeurs a, b et c saisies et rapporte les racines sous forme décimale et exacte lorsque le radical se simplifie proprement.
La formule s'applique que la parabole coupe l'axe x deux fois, une fois ou aucune fois sur les réels. Des racines conjuguées complexes apparaissent lorsque le discriminant est négatif. Une racine répétée apparaît lorsque le discriminant est zéro. Le panneau de travail montre chaque valeur substituée pour que l'arithmétique puisse être vérifiée.
Appliquer la formule quadratique
La formule quadratique est x égal à moins b plus ou moins la racine carrée de b au carré moins 4ac, le tout divisé par 2a. Le terme moins b va au numérateur avec la racine plus ou moins, et la fraction complète se divise par le double de a. QuickCalculators évalue d'abord le discriminant puis sépare la branche plus et la branche moins.
L'ordre des opérations compte : élevez b au carré, multipliez 4ac, soustrayez, prenez la racine carrée de ce résultat, puis combinez avec moins b avant de diviser par 2a. Omettre le groupement absolu du numérateur produit des signes incorrects. La calculatrice garde ces étapes en séquence dans la liste de travail.
Interpréter le discriminant
Le discriminant est b au carré moins 4ac. Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes. Un discriminant zéro donne une racine réelle répétée. Un discriminant négatif donne une paire conjuguée de racines complexes écrites avec l'unité imaginaire. QuickCalculators imprime la valeur du discriminant et nomme ce cas à côté des racines.
Pour a égal à 1, b égal à moins 5 et c égal à 6, le discriminant est 25 moins 24, ou 1, donc il existe deux racines réelles. Pour a égal à 1, b égal à 2 et c égal à 5, le discriminant est 4 moins 20, ou moins 16, donc les racines sont complexes. Cette étiquette de cas évite de traiter une racine carrée négative comme un résultat vide.
Traiter racines réelles et complexes
Les racines réelles incluent des radicaux simplifiés comme 1 plus ou moins la racine carrée de 3 à partir de x au carré moins 2x moins 2 égal à 0. Les racines complexes utilisent l'unité imaginaire, comme moins 1 plus ou moins 2i à partir de x au carré plus 2x plus 5 égal à 0. QuickCalculators écrit des paires conjuguées pour que les deux membres restent visibles.
Les racines répétées listent la même valeur réelle deux fois, correspondant à la racine double d'un trinôme carré parfait. On préfère les formes radicales exactes lorsque le discriminant se factorise en un carré parfait multiplié par une partie sans facteur carré. Les approximations décimales apparaissent à côté de ces chaînes exactes pour graficer ou vérifier avec la calculatrice.
Résoudre x au carré moins 5x plus 6 égal à 0
Le cas travaillé utilise a égal à 1, b égal à moins 5 et c égal à 6. Le discriminant est 1. Les racines sont 2 et 3, qui se factorisent comme (x moins 2)(x moins 3) égal à zéro et correspondent au fixture du moteur sur QuickCalculators.
- Calculez le discriminant : 25 moins 24 égale 1.
- Appliquez plus ou moins : (5 plus 1) / 2 égale 3, et (5 moins 1) / 2 égale 2.
- Rapportez les racines x égal à 2 et x égal à 3.
Cette paire est la solution de référence de cette page.
Comparer la formule avec compléter le carré
Compléter le carré réécrit la même quadratique en ajoutant et soustrayant une constante pour qu'un carré parfait apparaisse, puis prend des racines carrées. La formule quadratique emballe ces étapes algébriques dans une expression prête à substituer. Les deux méthodes renvoient les mêmes racines pour les mêmes coefficients.
QuickCalculators se concentre sur la voie de la formule sur cette page. Compléter le carré reste une méthode sœur pour le même type de problème et apparaît dans les notes didactiques sans exiger un lien séparé. Utilisez la méthode qu'indique le devoir ; les racines numériques doivent coïncider.
Éviter cette erreur courante
L'erreur appelée « diviser seulement par 2, pas par 2a » omet le coefficient a du dénominateur. Lorsque a n'est pas 1, ce raccourci décale les deux racines. Divisez toujours par le double de a après avoir combiné le numérateur. Le panneau de travail montre 2a explicitement pour que cet échec soit plus difficile à manquer.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la formule quadratique ?
La formule quadratique est x égal à moins b plus ou moins la racine carrée de b au carré moins 4ac, le tout divisé par 2a. Elle résout ax au carré plus bx plus c égal à zéro pour a non nul. QuickCalculators évalue cette expression avec les coefficients saisis.
Comment résoudre une équation quadratique avec la formule quadratique ?
Pour résoudre avec la formule quadratique, identifiez a, b et c, calculez le discriminant, puis évaluez les deux branches plus et moins sur 2a. La calculatrice effectue ces substitutions et liste les étapes. Entrez les trois coefficients dans les champs du formulaire pour suivre le même chemin.
Que indique le discriminant ?
Le discriminant indique si les racines sont deux nombres réels, un nombre réel répété ou une paire conjuguée complexe. Les valeurs positive, zéro et négative correspondent à ces trois cas dans cet ordre. Le panneau de résultats nomme le cas à côté de la valeur du discriminant.
Quelles sont les racines de x au carré moins 5x plus 6 égal à 0 ?
Les racines de x au carré moins 5x plus 6 égal à 0 sont 2 et 3. Le discriminant est 1, et les deux branches sur 2a arrivent à ces entiers. En entrant a égal à 1, b égal à moins 5 et c égal à 6 on obtient la même paire.
La formule quadratique peut-elle donner des racines complexes ?
La formule quadratique peut donner des racines complexes lorsque le discriminant est négatif. La racine carrée d'un nombre négatif s'écrit avec l'unité imaginaire, et les racines forment une paire conjuguée comme moins 1 plus ou moins 2i. QuickCalculators imprime cette forme a plus ou moins bi pour le cas complexe.
Quand y a-t-il une seule solution ?
Il y a une seule solution réelle distincte lorsque le discriminant est zéro. Cette racine répétée satisfait encore l'équation deux fois au sens algébrique. La calculatrice étiquette le cas de racine répétée et montre l'unique valeur réelle.
Pourquoi a doit-il être non nul ?
Le coefficient a doit être non nul parce qu'un terme principal zéro rendrait l'équation linéaire, pas quadratique, et la formule divise par 2a. Entrer a égal à 0 renvoie une erreur au lieu d'une résolution quadratique fausse. Utilisez une voie de résolution linéaire lorsque le degré baisse.
Résumé
QuickCalculators résout ax au carré plus bx plus c égal à zéro avec la formule quadratique et rapporte les cas du discriminant pour racines réelles, répétées et complexes. Les formes exactes incluent 1 plus ou moins la racine carrée de 3, et moins 1 plus ou moins 2 fois l'unité imaginaire.
Le fixture x au carré moins 5x plus 6 égal à 0 produit les racines 2 et 3. Divisez toujours par 2a, et traitez un coefficient principal zéro comme invalide pour cette formule.