QuickCalculators löst ax quadrat plus bx plus c gleich null mit der quadratischen Formel, bezeichnet den Diskriminantenfall und schreibt exakte Wurzeln, wenn Radikale vereinfachen. Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein, dann lesen Sie die beiden Nullstellen, den Diskriminantenwert und die komplexe oder wiederholte Form, wenn dieser Fall zutrifft.
Lösen Sie eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynommenge des zweiten Grades, die gleich null ist. Die quadratische Formel gibt die Nullstellen für jedes a zurück, die nicht gleich null sind, indem sie die Koeffizienten zu einem Ausdruck unter einer Quadratwurzel kombiniert. QuickCalculators setzt die typisierten a, b und c ein und berichtet dann die Nullstellen in dezimaler und exakter Form, wenn das Radikal sauber vereinfacht wird.
Die Formel gilt unabhängig davon, ob die Parabel die x-Achse zweimal, einmal oder gar nicht in den reellen Zahlen kreuzt. Komplexe konjugierte Wurzeln treten auf, wenn der Diskriminant negativ ist. Eine wiederholte Wurzel erscheint, wenn der Diskriminant null ist. Das Arbeitsfeld zeigt jeden ersetzten Wert an, sodass die Arithmetik überprüfbar bleibt.
Anwendung der quadratischen Formel
Die quadratische Formel ist x gleich minus b plus oder minus der Quadratwurzel von b zum Quadrat minus 4ac, alles über 2a. Der Minus-b-Term befindet sich im Zähler mit der Plus-oder-Minus-Quadratwurzel, und der ganze Bruch teilt sich durch das Doppelte a. QuickCalculators berechnet zuerst den Diskriminanten und teilt sich dann in den Plus- und den Minus-Zweig.
Die Reihenfolge der Operationen ist wichtig: quadrieren Sie b, multiplizieren Sie 4ac, subtrahieren, nehmen Sie die Quadratwurzel dieses Ergebnisses und kombinieren Sie dann mit negativ b, bevor Sie durch 2a teilen. Das Überspringen der absoluten Gruppierung um den Zähler erzeugt falsche Vorzeichen. Der Rechner führt diese Schritte in der Show-Work-Liste in der Reihe auf.
Lesen Sie den Diskriminant
Der Diskriminant ist b Quadrat minus 4ac. Ein positiver Diskriminant ergibt zwei unterschiedliche reale Wurzeln. Ein Null-Diskriminant ergibt eine wiederholte reelle Nullstelle. Ein negativer Diskriminant ergibt ein konjugiertes Paar komplexer Wurzeln, das mit der imaginären Einheit geschrieben wird. QuickCalculators druckt den Diskriminationswert und nennt diesen Fall neben den Wurzeln.
Für a gleich 1, b gleich minus 5 und c gleich 6, ist der Diskriminant 25 minus 24 oder 1, also existieren zwei reelle Wurzeln. Für a gleich 1, b gleich 2 und c gleich 5, ist der Diskriminant 4 minus 20 oder minus 16, sodass die Nullstellen komplex sind. Diese Fallbezeichnung verhindert, dass eine negative Quadratwurzel als leeres Ergebnis behandelt wird.
Handhabung von reellen und komplexen Wurzeln
Reelle Wurzeln umfassen vereinfachte Radikale wie 1 plus oder minus die Quadratwurzel von 3 aus x Quadrat minus 2x minus 2 gleich 0. Komplexe Nullstellen verwenden die imaginäre Einheit, also minus 1 plus oder minus 2i aus x Quadrat plus 2x plus 5 gleich 0. QuickCalculators schreibt konjugierte Paare, sodass beide Mitglieder sichtbar bleiben.
Wiederholte Nullstellen geben denselben reellen Wert zweimal auf, was der Doppelwurzel eines perfekt-quadratischen Trinomiums entspricht. Exakte Radikalformen bleiben bevorzugt, wenn der Diskriminant in ein perfektes Quadrat mal einen quadratfreien Teil eingeht. Dezimalapproximationen stehen neben diesen exakten Zeichenketten für Diagramme oder Taschenrechnerprüfungen.
Löse x zum Quadrat minus 5x plus 6 gleich 0
Der ausgearbeitete Fall verwendet a gleich 1, b gleich minus 5 und c gleich 6. Der Diskriminant ist 1. Die Nullstellen sind 2 und 3, wobei (x minus 2)(x minus 3) gleich null ist und mit der Motorbefestigung auf QuickCalculators übereinstimmt.
- Berechnen Sie den Diskriminanten: 25 minus 24 ergibt 1.
- Plus oder Minus anwenden: (5 plus 1) / 2 gleich 3, und (5 minus 1) / 2 gleich 2.
- Melde Nullstellen, dass x gleich 2 und x gleich 3 ist.
Dieses Paar ist die Referenzlösung für diese Seite.
Vergleichen Sie die Formel mit dem Abschluss des Quadrats
Das Abschließen des Quadrats schreibt dieselbe quadratische Variante um, indem eine Konstante hinzugefügt und subtrahiert wird, sodass ein perfektes Quadrat erscheint, und dann Quadratwurzeln genommen werden. Die quadratische Formel packt diese algebraischen Schritte in einem Plug-in-Ausdruck. Beide Methoden geben dieselben Nullstellen für dieselben Koeffizienten zurück.
QuickCalculators konzentriert sich auf den Formelpfad auf dieser Seite. Das Abschließen des Quadrats bleibt eine Geschwistermethode für denselben Problemtyp und erscheint hier in den Lehrnotizen, ohne dass ein separater Live-Link erforderlich ist. Verwenden Sie die Methode, mit der die Aufgaben benannt sind; Die numerischen Wurzeln sollten übereinstimmen.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Das Missverständnis "nur durch 2 teilen, nicht durch 2a" lässt den Koeffizienten a vom Nenner fallen. Wenn a nicht 1 ist, verschiebt diese Abkürzung beide Wurzeln. Immer nach der Kombination des Zählers durch zweimal a teilen. Das Arbeitspanel zeigt 2a explizit an, damit ein Ausrutscher schwerer zu übersehen ist.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die quadratische Formel?
Die quadratische Formel ist x gleich minus b plus oder minus der Quadratwurzel von b zum Quadrat minus 4ac, alles über 2a. Sie löst ax quadrat plus bx plus c gleich null für a, die nicht gleich null ist. QuickCalculators bewertet diesen Ausdruck für die eingegebenen Koeffizienten.
Wie löst man eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel?
Um mit der quadratischen Formel zu lösen, identifizieren Sie a, b und c, berechnen Sie den Diskriminanten und bewerten Sie dann sowohl Plus- als auch Minus-Zweige über 2a. Der Rechner führt diese Substitutionen durch und listet die Schritte auf. Geben Sie die drei Koeffizienten in den Formfeldern ein, um denselben Pfad auszuführen.
Was sagt dir der Diskriminant?
Der Diskriminant gibt an, ob die Nullstellen zwei reelle Zahlen, eine wiederholte reelle Zahl oder ein komplex konjugiertes Paar sind. Positive, null und negative Werte bilden diese drei Fälle in der Reihenfolge zu. Das Ergebnispanel nennt den Fall neben dem diskriminierenden Wert.
Was sind die Nullstellen von x zum Quadrat minus 5x plus 6 gleich 0?
Die Nullstellen von x zum Quadrat minus 5x plus 6 gleich 0 sind 2 und 3. Der Diskriminant ist 1, und beide Zweige über 2a landen auf diesen ganzen Zahlen. Eingabe a gleich 1, b gleich minus 5 und c gleich 6, ergibt dasselbe Paar.
Kann die quadratische Formel komplexe Nullstellen liefern?
Die quadratische Formel kann komplexe Nullstellen liefern, wenn der Diskriminant negativ ist. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl wird mit der imaginären Einheit geschrieben, und die Nullstellen bilden ein konjugiertes Paar wie minus 1 plus oder minus 2i. QuickCalculators druckt aus, dass eine Plus- oder Minus-Bi-Form für den komplexen Fall besteht.
Wann gibt es nur eine Lösung?
Es gibt nur eine eindeutige reale Lösung, wenn der Diskriminant null ist. Diese wiederholte Wurzel erfüllt die Gleichung im algebraischen Sinne immer noch zweimal. Der Rechner beschriftet den wiederholten Wurzelfall und zeigt den einzelnen reellen Wert an.
Warum muss a nicht null sein?
Der Koeffizient a muss ungleich null sein, da ein führender Term von null die Gleichung linear und nicht quadratisch machen würde, und die Formel durch 2a geteilt wird. Die Eingabe von 0 ergibt einen Fehler statt einer falschen quadratischen Lösung. Verwenden Sie einen linearen Lösungspfad, wenn der Grad abfällt.
Zusammenfassung
QuickCalculators löst ax quadrat plus bx plus c gleich null mit der quadratischen Formel und berichtet Diskriminantfälle für reelle, wiederholte und komplexe Nullstellen. Exakte Formen umfassen 1 plus oder minus die Quadratwurzel von 3 und minus 1 plus/minus 2 mal die imaginäre Einheit.
Die Fixtur x zum Quadrat minus 5x plus 6 ergibt 0 und ergibt die Wurzeln 2 und 3. Immer durch 2a teilen und einen führenden Koeffizienten von null als ungültig für diese Formel betrachten.