Algebra-Wortaufgabe 1 Calculator richtet ein klassisches Zwei-Münzen-Wortproblem auf und löst es als System von zwei linearen Gleichungen, wobei Substitution verwendet wird, um beide Unbekannten zu finden. Geben Sie die Gesamtzahl der Münzen, den Gesamtwert und die beiden Münzstückelungen ein, und das Werkzeug zeigt jeden Algebra-Schritt vom System bis zu den endgültigen Zählungen.
Aufbau des Gleichungssystems
Ein Zwei-Münzen-Problem liefert zwei Fakten: wie viele Münzen es insgesamt gibt und wie viel sie insgesamt wert sind.
Wenn x der Wert der ersten Münze ist und y der Zählung der zweiten, werden die beiden Fakten zu x + y = Gesamtmünzen und (Wert der ersten)·x + (Wert der zweiten)·y = Gesamtwert in Cent.
Algebra-Wortproblem 1 Calculator schreibt beide Gleichungen explizit auf, bevor er sie löst, da das Nebeneinandersehen der beiden Gleichungen den Substitutionsschritt sinnvoll macht.
Lösen Sie durch Substitution
Die Substitution löst eine Gleichung für eine Variable und fügt diesen Ausdruck dann in die andere Gleichung ein. Von x + y = total, isoliere y = total − x. Setzt man diese in die Wertgleichung ein, ersetzt man y überall, wo er erscheint, sodass eine einzige Gleichung in x bleibt, die direkt gelöst werden kann.
Der Algebra-Wortaufgaben-1-Taschenrechner führt diese Substitution durch und zeigt die resultierende Ein-Variablen-Gleichung an, bevor er sie löst.
Arbeiten Sie sich durch ein Beispiel mit Dimes-and-Quarters
Ein Glas fasst 30 Münzen, alle Dimes und Quarters, im Wert von insgesamt 5,55 Dollar. Sei x die Anzahl der Dimes und y die Anzahl der Vierteldollar: x + y = 30, und 10x + 25y = 555 (in Cent).
Setze y = 30 − x in die Wertgleichung ein: 10x + 25(30 − x) = 555, was sich auf 10x + 750 − 25x = 555 ausdehnt, vereinfacht zu −15x = −195, also x = 13.
Dann gilt y = 30 − 13 = 17. Das Glas fasst 13 Dimes und 17 Vierteldollar, und Kontrolle: 13(10) + 17(25) = 130 + 425 = 555 Cent, also 5,55 $.
Überprüfen Sie die Lösung mit beiden ursprünglichen Fakten
Ein gelöstes Münzsystem sollte beide Anfangsgleichungen erfüllen, nicht nur die, die zur Isolierung von x verwendet wird. Im Beispiel der Dimes-and-Quarters beträgt der Zählscheck 13 + 17 = 30, was der Gesamtzahl der Münzen entspricht, und der Wertscheck beträgt 1,30 $ + 4,25 $ = 5,55 $, was dem Gesamtwert entspricht.
Algebra-Wortaufgabe 1 Calculator führt beide Prüfungen automatisch durch und markiert das Ergebnis als unzulässig, wenn eine der Zählungen negativ oder nicht ganzzahlig ist, da eine Münzzählung eine nichtnegative Ganzzahl sein muss.
Arbeiten Sie sich durch ein Beispiel mit Nickel-und-Viertel-Münzen
Ein anderes Glas fasst 22 Münzen, alle Nickels und Vierteldollar, im Wert von 3,70 $. Sei x Nickel und y Viertel: x + y = 22, und 5x + 25y = 370.
Ersetze y = 22 − x: 5x + 25(22 − x) = 370, was sich auf 5x + 550 − 25x = 370 ausdehnt, vereinfacht zu −20x = −180, also x = 9.
Dann gilt y = 22 − 9 = 13. Kontrolle: 9 + 13 = 22 Münzen, und 9(5) + 13(25) = 45 + 325 = 370 Cent, also 3,70 $, was die Lösung bestätigt.
Erkennen, wenn ein Münzsystem keine gültige Lösung hat
Nicht jede Kombination aus Gesamtmünzen und Gesamtwert ergibt eine gültige, nichtnegative ganzzahlige Lösung.
Wenn ein angegebener Gesamtwert zu niedrig ist, um selbst mit allen Münzen zur günstigeren Nennwertung zu erreichen, oder zu hoch, um selbst mit allen Münzen zum teureren Wert zu erreichen, löst das System eine negative oder fraktionale Zählung, was darauf hindeutet, dass die Zahlen des Wortproblems inkonsistent sind.
Der Algebra-Wortaufgabe-1-Rechner markiert dieses Ergebnis explizit, anstatt eine Münzzahl zu melden, die in Wirklichkeit nicht existieren könnte.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Ein häufiger Fehler behält den Gesamtwert in Dollar, während die Münzwerte in Cent angegeben sind, wodurch Einheiten innerhalb derselben Gleichung gemischt werden. Wenn man 10x + 25y = 5,55 statt 10x + 25y = 555 schreibt, entsteht ein System ohne sinnvolle ganzzahlige Lösung.
Rechnen Sie den Gesamtwert in Cent, bevor Sie die Wertgleichung aufstellen, indem Sie die auf der linken Seite verwendeten Einheiten der Pro-Münzen-Werte abgleichen.
Häufig gestellte Fragen
Wie löst man ein Münzwortproblem mit zwei Arten von Münzen?
Um ein Zwei-Münzen-Wortproblem zu lösen, schreiben Sie eine Gleichung für die Gesamtzahl der Münzen und eine zweite Gleichung für den Gesamtwert in übereinstimmenden Einheiten, dann lösen Sie das System durch Substitution: Isolieren Sie eine Variable aus der Zählgleichung und setzen Sie sie in die Wertgleichung ein.
Was ist die Substitutionsmethode in der Algebra?
Die Substitutionsmethode löst ein System von zwei Gleichungen, indem eine Gleichung für eine Variable gelöst wird und diese dann überall dort ersetzt wird, wo sie in der anderen Gleichung vorkommt, wodurch das System auf eine einzige Gleichung in einer unbekannten Gleichung reduziert wird.
Warum verwendet die Münzwertgleichung Cent statt Dollar?
Die Münzwertgleichung verwendet Cents, sodass die Münzwerte (10 für einen Dime, 25 für ein Vierteldollar) und der Gesamtwert in derselben Einheit übereinstimmen; Das Mischen von Dollar und Cent in einer Gleichung ergibt eine Gleichung, die das Problem nicht korrekt darstellt.
Was, wenn die Lösung für ein Münzproblem keine ganze Zahl ist?
Wenn die Lösung eines Münzproblems keine ganze Zahl ist, sind die angegebenen Gesamtmünzen und der Gesamtwert nicht gleichzeitig mit den angegebenen Münzwerten erreichbar, und das Problem hat keine gültige Antwort; Algebra-Wortaufgabe 1 Calculator markiert diesen Fall, anstatt auf eine nahegelegene ganze Zahl abzurunden.
Kann diese Methode Probleme mit drei Münzarten lösen?
Diese Substitutionsmethode, wie gezeigt, löst ein zwei-unbekanntes System direkt; Ein Drei-Münzen-Problem benötigt eine dritte unabhängige Gleichung, wie etwa eine angegebene Beziehung zwischen zwei der Münzzählungen, bevor es auf ein lösbares System mit zwei Variablen reduziert wird.
Was bedeutet es, wenn die Anzahl der gelösten Münzen negativ ist?
Eine negativ gelöste Münzanzahl bedeutet, dass der angegebene Gesamtwert und die Gesamtzahl der Münzen im Wortproblem nicht gleichzeitig mit den angegebenen Stückelungen erreichbar sind und das Problem in der Realität keine Lösung hat.
Wie überprüft man die Antwort eines Münzwortproblems?
Um die Antwort auf ein Münzwortproblem zu überprüfen, setze die gelösten Zählungen in beide ursprünglichen Gleichungen, die Gesamtmünzgleichung und die Gesamtwertgleichung, zurück und prüfe, dass beide exakt erfüllt sind.
Zusammenfassung
Der Algebra-Wortaufgabe 1 Rechner übersetzt ein Zwei-Münzen-Wortproblem in ein System von zwei linearen Gleichungen, einer für die Gesamtzahl der Münzen und einer für den Gesamtwert, und löst dann durch Substitution. Geben Sie die Gesamtmünzen, den Gesamtwert und die beiden Münzstückelungen ein, um das System, die Substitution und die endgültigen Zählungen zu sehen, die jeweils gegen beide ursprünglichen Bedingungen überprüft werden.