Algebra Word Problem 1 Calculator monta e resolve um problema clássico de duas moedas como sistema de duas equações lineares, usando substituição para encontrar ambas as incógnitas. Insira o total de moedas, o valor total e os dois valores das moedas, e a ferramenta mostra cada passo algébrico do sistema até as contagens finais.
Monte o sistema de equações
Um problema com duas moedas fornece dois dados: quantas moedas existem no total e quanto valem juntas.
Se x é a contagem da primeira moeda e y da segunda, os dois dados viram x + y = total de moedas e (valor da primeira)·x + (valor da segunda)·y = valor total em centavos.
Algebra Word Problem 1 Calculator escreve ambas as equações explicitamente antes de resolver, porque ver as duas lado a lado torna claro o passo de substituição.
Resolver por substituição
Substituição resolve uma equação para uma variável, depois insere essa expressão na outra equação. De x + y = total, isole y = total − x. Substituindo na equação de valor, y é trocado em todo lugar, deixando uma única equação em x, resolvível diretamente.
Algebra Word Problem 1 Calculator executa essa substituição e mostra a equação resultante com uma variável antes de resolvê-la.
Exemplo com dimes e quarters
Um pote tem 30 moedas, todas dimes e quarters, valendo $5,55 no total. Seja x o número de dimes e y de quarters: x + y = 30, e 10x + 25y = 555 (em centavos).
Substitua y = 30 − x na equação de valor: 10x + 25(30 − x) = 555, que expande para 10x + 750 − 25x = 555, simplificando para −15x = −195, então x = 13.
Depois y = 30 − 13 = 17. O pote tem 13 dimes e 17 quarters, e a verificação: 13(10) + 17(25) = 130 + 425 = 555 centavos, ou $5,55.
Verificar a solução contra os dois fatos originais
Um sistema de moedas resolvido deve satisfazer ambas as equações iniciais, não só a usada para isolar x. No exemplo dimes-quarters, a checagem de contagem é 13 + 17 = 30, e a de valor é $1,30 + $4,25 = $5,55.
Algebra Word Problem 1 Calculator executa ambas as verificações automaticamente e marca o resultado como inviável se alguma contagem sair negativa ou não inteira, porque contagem de moedas deve ser inteiro não negativo.
Exemplo com nickels e quarters
Outro pote tem 22 moedas, todas nickels e quarters, valendo $3,70 no total. Seja x nickels e y quarters: x + y = 22, e 5x + 25y = 370.
Substitua y = 22 − x: 5x + 25(22 − x) = 370, que expande para 5x + 550 − 25x = 370, simplificando para −20x = −180, então x = 9.
Depois y = 22 − 9 = 13. Verificação: 9 + 13 = 22 moedas, e 9(5) + 13(25) = 45 + 325 = 370 centavos, ou $3,70, confirmando a solução.
Reconhecer quando um sistema de moedas não tem solução válida
Nem toda combinação de total de moedas e valor total produz solução inteira não negativa válida.
Se um valor total indicado é baixo demais mesmo com todas as moedas no valor mais barato, ou alto demais com todas no mais caro, o sistema leva a contagem negativa ou fracionária, sinalizando que os números do problema são inconsistentes.
Algebra Word Problem 1 Calculator sinaliza esse resultado explicitamente em vez de reportar contagem de moedas que não poderia existir.
Evitar este erro comum
Um erro comum mantém o valor total em dólares enquanto os valores das moedas estão em centavos, misturando unidades na mesma equação. Escrever 10x + 25y = 5,55 em vez de 10x + 25y = 555 produz sistema sem solução inteira sensata.
Converta o valor total em dólares para centavos antes de montar a equação de valor, alinhando as unidades aos valores por moeda usados à esquerda.
Perguntas frequentes
Como resolver um problema de moedas com dois tipos?
Para resolver um problema com duas moedas, escreva uma equação para a contagem total e outra para o valor total em unidades compatíveis, depois resolva o sistema por substituição: isole uma variável da equação de contagem e substitua na de valor.
O que é o método de substituição em álgebra?
O método de substituição resolve um sistema de duas equações resolvendo uma equação para uma variável, depois substituindo essa variável em todo lugar na outra equação, reduzindo o sistema a uma única equação com uma incógnita.
Por que a equação de valor das moedas usa centavos em vez de dólares?
A equação de valor usa centavos para que os valores das moedas (10 para um dime, 25 para um quarter) e o total coincidam na mesma unidade; misturar dólares e centavos em uma equação não representa corretamente o problema.
E se a solução de um problema de moedas não for número inteiro?
Se a solução não for inteira, os totais indicados não são atingíveis juntos com os valores dados, e o problema como formulado não tem resposta válida; Algebra Word Problem 1 Calculator sinaliza esse caso em vez de arredondar para inteiro próximo.
Este método resolve problemas com três tipos de moedas?
Este método por substituição resolve diretamente um sistema com duas incógnitas; um problema com três moedas precisa de terceira equação independente, como relação entre duas contagens, antes de reduzir a sistema resolvível com duas variáveis.
O que significa se a contagem de moedas resolvida for negativa?
Contagem negativa significa que valor total e número total de moedas no texto não são atingíveis juntos com os valores indicados, e o problema como posto não tem solução no mundo real.
Como verificar a resposta de um problema de moedas?
Para verificar, substitua as contagens resolvidas nas duas equações originais, a de total de moedas e a de valor total, e confirme que ambas são satisfeitas exatamente.
Resumo
Algebra Word Problem 1 Calculator traduz um problema com duas moedas em sistema de duas equações lineares, uma para contagem total e outra para valor total, depois resolve por substituição. Insira total de moedas, valor total e os dois valores das moedas para ver o sistema, a substituição e as contagens finais, cada uma verificada contra ambas as condições originais.