Algebraisk textuppgift 1 ställer upp och löser ett klassiskt tvåmyntsproblem som ett system av två linjära ekvationer, med substitution för att hitta båda okända. Ange det totala antalet mynt, totalvärdet och de två myntvalörerna, så visar verktyget varje algebrasteg från systemet till de slutliga antalen.
Ställ upp ekvationssystemet
Ett tvåmyntsproblem ger två fakta: hur många mynt det finns totalt, och hur mycket de är värda totalt.
Om x är antalet av det första myntet och y antalet av det andra, blir de två fakta x + y = totala mynt och (värde av första)·x + (värde av andra)·y = totalvärde i cent.
Algebraisk textuppgift 1 skriver båda ekvationerna uttryckligen före lösning, eftersom att se de två ekvationerna sida vid sida är det som får substitutionssteget att bli begripligt.
Lös med substitution
Substitution löser en ekvation för en variabel och sätter sedan in det uttrycket i den andra ekvationen. Från x + y = total, isolera y = total − x. Att substituera detta i värdeekvationen ersätter y överallt där det förekommer och lämnar en enda ekvation i enbart x, som kan lösas direkt.
Algebraisk textuppgift 1 utför den substitutionen och visar den resulterande envariabelsekvationen innan den löses.
Räkna igenom ett exempel med tiocentare och kvartsmynt
En burk innehåller 30 mynt, alla tiocentare och kvartsmynt, värda totalt $5.55. Låt x vara antalet tiocentare och y antalet kvartsmynt: x + y = 30, och 10x + 25y = 555 (i cent).
Substituera y = 30 − x i värdeekvationen: 10x + 25(30 − x) = 555, som expanderar till 10x + 750 − 25x = 555, förenklas till −15x = −195, så x = 13.
Sedan y = 30 − 13 = 17. Burken innehåller 13 tiocentare och 17 kvartsmynt, och kontroll: 13(10) + 17(25) = 130 + 425 = 555 cent, eller $5.55.
Kontrollera lösningen mot båda ursprungliga fakta
Ett löst myntsystem ska uppfylla båda startande ekvationerna, inte bara den som användes för att isolera x. För exemplet med tiocentare och kvartsmynt är antalskontrollen 13 + 17 = 30, vilket matchar det totala myntantalet, och värdekontrollen är $1.30 + $4.25 = $5.55, vilket matchar totalvärdet.
Algebraisk textuppgift 1 kör båda kontrollerna automatiskt och flaggar resultatet som ogiltigt om något antal blir negativt eller icke-heltal, eftersom ett myntantal måste vara ett icke-negativt heltal.
Räkna igenom ett exempel med nickels och kvartsmynt
En annan burk innehåller 22 mynt, alla nickels och kvartsmynt, värda $3.70. Låt x vara nickels och y kvartsmynt: x + y = 22, och 5x + 25y = 370.
Substituera y = 22 − x: 5x + 25(22 − x) = 370, som expanderar till 5x + 550 − 25x = 370, förenklas till −20x = −180, så x = 9.
Sedan y = 22 − 9 = 13. Kontroll: 9 + 13 = 22 mynt, och 9(5) + 13(25) = 45 + 325 = 370 cent, eller $3.70, vilket bekräftar lösningen.
Känn igen när ett myntsystem saknar giltig lösning
Inte varje kombination av totala mynt och totalvärde ger en giltig, icke-negativ heltalslösning.
Om ett angivet totalvärde är för lågt för att nå ens med alla mynt i den billigare valören, eller för högt för att nå ens med alla mynt i den dyrare, löser systemet till ett negativt eller bråktaligt antal, vilket signalerar att textuppgiftens tal är inkonsistenta.
Algebraisk textuppgift 1 flaggar detta utfall uttryckligen i stället för att rapportera ett myntantal som inte kunde finnas i verkligheten.
Undvik det här vanliga misstaget
Ett vanligt fel behåller totalvärdet i dollar medan myntvärdena är i cent, och blandar enheter inom samma ekvation. Att skriva 10x + 25y = 5.55 i stället för 10x + 25y = 555 ger ett system utan förnuftig heltalslösning.
Omvandla totalvärdet i dollar till cent innan värdeekvationen ställs upp, så att enheterna matchar myntvärdena per mynt på vänster sida.
Vanliga frågor
Hur löser man en mynttextuppgift med två mynttyper?
För att lösa en tvåmyntstextuppgift, skriv en ekvation för det totala antalet mynt och en andra ekvation för totalvärdet i matchande enheter, och lös sedan systemet med substitution: isolera en variabel från antalsekvationen och substituera den i värdeekvationen.
Vad är substitutionsmetoden i algebra?
Substitutionsmetoden löser ett system med två ekvationer genom att lösa en ekvation för en variabel och sedan ersätta den variabeln överallt där den förekommer i den andra ekvationen, så att systemet reduceras till en enda ekvation i en okänd.
Varför använder myntvärdeekvationen cent i stället för dollar?
Myntvärdeekvationen använder cent så att myntvärdena (10 för en tiocentare, 25 för ett kvartsmynt) och totalen matchar i samma enhet; att blanda dollar och cent i en ekvation ger en ekvation som inte korrekt representerar problemet.
Vad händer om lösningen på ett myntproblem inte är ett heltal?
Om lösningen på ett myntproblem inte är ett heltal är de angivna totala mynten och totalvärdet inte samtidigt uppnåeliga med de givna myntvalörerna, och problemet som det är formulerat har inget giltigt svar; Algebraisk textuppgift 1 flaggar detta fall i stället för att avrunda till ett närliggande heltal.
Kan den här metoden lösa problem med tre mynttyper?
Den här substitutionsmetoden som visas löser ett system med två okända direkt; ett tremyntsproblem behöver en tredje oberoende ekvation, till exempel en angiven relation mellan två av myntantalen, innan det reduceras till ett lösbart tvåvariabelsystem.
Vad betyder det om det lösta myntantalet är negativt?
Ett negativt löst myntantal betyder att det angivna totalvärdet och det totala myntantalet i textuppgiften inte är samtidigt uppnåeliga med de givna valörerna, och problemet som det ställs har ingen verklig lösning.
Hur kontrollerar man svaret på en mynttextuppgift?
För att kontrollera svaret på en mynttextuppgift, sätt in de lösta antalen tillbaka i båda ursprungliga ekvationerna, antalsekvationen och värdeekvationen, och bekräfta att båda uppfylls exakt.
Sammanfattning
Algebraisk textuppgift 1 översätter en tvåmyntstextuppgift till ett system av två linjära ekvationer, en för det totala myntantalet och en för totalvärdet, och löser sedan med substitution. Ange totala mynt, totalvärde och de två myntvalörerna för att se systemet, substitutionen och de slutliga antalen, var och en kontrollerad mot båda ursprungliga villkoren.