Kombinationen mit dem Ersatzrechner zählen die Auswahl von r Elementen aus n verfügbaren Optionen, wenn Wiederholungen erlaubt sind und die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Formel, die sie anwendet, lautet C(n + r − 1, r), allgemein als Sterne und Balken bezeichnet, und das Werkzeug zeigt die verschobene Kombination zusammen mit der Endzählung an.
Zählauswahlen, die Wiederholungen ermöglichen
Gewöhnliche Kombinationen verbieten, denselben Gegenstand zweimal zu ziehen; Kombinationen mit Ersatz heben diese Beschränkung auf. Die Auswahl von 3 Kugeln Eiscreme aus 5 verfügbaren Geschmacksrichtungen, bei denen jeder Geschmack wiederholen kann, ist ein Kombinations-mit-Ersatz-Problem, kein einfaches Kombinationsproblem, da ein Kunde drei Kugeln desselben Geschmacks bestellen kann.
Der Count ist C(5 + 3 − 1, 3), was C(7, 3) entspricht, was 35 verschiedenen Ordnungen entspricht.
Verstehen Sie die Methode von Stars and Bars
Die Sterne-und-Balken-Methode wandelt eine mit Ersetzungswahl in eine gewöhnliche Kombination um, indem n − 1 Teiler unter r ausgewählten Elementen eingefügt werden. Stellen Sie sich r Sterne vor, die die ausgewählten Elemente repräsentieren, und n − 1 Balken, die sie in n Behälter trennen, jeweils ein Behälter pro Option.
Das Anordnen von r Sternen und n − 1 Balken in einer Reihe hat C(r + n − 1, r) Gesamtanordnungen, da die Wahl der r + n − 1 Positionen die Sterne enthält, die gesamte Anordnung bestimmt.
Arbeite das Geschmacksbeispiel Schritt für Schritt durch
Mit n = 5 Geschmacksrichtungen und r = 3 Kugeln ist die verschobene Kombination C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Erweitern Sie C(7, 3) als 7! / (3! × 4!), was (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) ist, gleich 210 / 6 oder 35.
Kombinationen mit dem Ersatzrechner drucken genau diese Erweiterung, sodass der Wechsel von n und r zur Arbeitskombination C(7, 3) nie ein versteckter Schritt ist.
Vergleich mit gewöhnlichen Kombinationen
Gewöhnliche Kombinationen ohne Ersatz für denselben n = 5 und r = 3 wären C(5, 3), was 10 entspricht, da jeder Geschmack nur einmal gewählt werden kann.
Die Anzahl von 35 mit Ersatz ist immer mindestens so groß wie die ohne Ersatz für dieselben n und r, da das Zulassen von Wiederholungen nur mehr gültige Auswahlen hinzufügt und niemals welche entfernt.
Arbeiten Sie sich durch ein Beispiel mit größerer Auswahl
Die Auswahl von 4 Belägen aus 6 verfügbaren Optionen, bei denen derselbe Belag mehrmals ausgewählt werden kann und die Reihenfolge keine Rolle spielt, verwendet n = 6 und r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Erweitern Sie C(9, 4) auf 9! / (4! × 5!), was (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1) ist, gleich 3024 / 24 oder 126. Kombinationen mit dem Ersatzrechner zeigen dieselbe Verschiebungs- und Ausdehnungssequenz für jedes eingegebene n und r.
Erkenne Sprache mit Ersatz in einer Textaufgabe
Wortaufgaben, die Wiederholungen erlauben, verwenden typischerweise Formulierungen wie "mit Wiederholung", "kann wiederholen", "mit Ersetzung" oder beschreiben ein Szenario wie die Bestellung von Essen, bei denen dasselbe Gericht mehrmals ausgewählt werden kann.
Das Erkennen dieser Sprache vor der Wahl einer Formel verhindert, dass standardmäßig die einfache Kombinationsformel verwendet wird, da die einfache Formel stillschweigend davon ausgeht, dass jedes Element höchstens einmal ausgewählt werden kann.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Der häufigste Fehler wendet die einfache Kombinationsformel C(n, r) auf ein mit Ersetzungsproblem an, wobei die tatsächliche Anzahl der Selektionen unterschätzt wird.
Ein weiterer häufiger Fehler verschiebt n und ist in die falsche Richtung, indem C(n + r − 1, n) statt C(n + r − 1, r) berechnet wird; Beide Ausdrücke sind numerisch gleich durch die Symmetrie der Kombinationen, sodass dieser spezielle Rutsch zwar noch funktioniert, aber die Verwirrung, welcher Wert an der obersten Position (r oder n − 1) liegt, nicht funktioniert.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für Kombinationen mit Ersatz?
Die Formel für Kombinationen mit Ersatz lautet C(n + r − 1, r), wobei n die Anzahl der verfügbaren Optionen und r die Anzahl der ausgewählten Elemente ist, wobei Wiederholungen erlaubt sind und die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Wie viele Möglichkeiten kann man 3 Portionen aus 5 Geschmacksrichtungen auswählen, wobei Wiederholungen erlaubt sind?
Die Auswahl von 3 Löffeln aus 5 Geschmacksrichtungen mit erlaubten Wiederholungen ergibt C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), was 35 verschiedene Kombinationen ergibt.
Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen mit und ohne Ersatz?
Kombinationen ohne Ersatz verbieten es, dasselbe Element zweimal auszuwählen und verwenden C(n, r), während Kombinationen mit Ersatz Wiederholungen erlauben und die verschobene Formel C(n + r − 1, r) verwenden, die immer mindestens ein ebenso großes Ergebnis liefert.
Was ist die Methode mit Stars and Bars?
Die Sterne-und-Balken-Methode modelliert eine Ersetzungsauswahl als r Sterne, die durch n − 1 Balken in n Gruppen aufgeteilt werden, wodurch das Zählproblem in eine gewöhnliche Kombination C(n + r − 1, r) von Stern-und-Bar-Positionen umgewandelt wird.
Spielt die Reihenfolge bei Kombinationen mit Ersatz eine Rolle?
Die Reihenfolge spielt bei Kombinationen mit Ersatz keine Rolle; Die Auswahl von 2 Äpfeln und 1 Banane zählt unabhängig von der Reihenfolge der Gegenstände als ein Ergebnis. Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt und Wiederholungen erlaubt sind, verwendet der Count stattdessen n erhöht zur Potenz r.
Kann r in Kombinationen mit Ersatz größer als n sein?
R kann bei Kombinationen mit Ersatz größer als n sein, im Gegensatz zu gewöhnlichen Kombinationen, da Wiederholungen es ermöglichen, mehr Elemente auszuwählen, als es unterschiedliche Optionen gibt. Die Auswahl von 10 Löffel aus 3 Geschmacksrichtungen ist gültig und berechnet sich als C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
Wie viele Möglichkeiten kann man 4 von 6 Toppings auswählen, bei denen Wiederholungen erlaubt sind?
Wählt man 4 Toppings aus 6 mit erlaubten Wiederholungen, erhält man C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), was 126 verschiedene Kombinationen ergibt.
Welche Phrasen in einem Wortproblem signalisieren Kombinationen mit Ersatz?
Formulierungen wie "darf wiederholen", "mit Ersatz", "Wiederholung erlaubt" oder ein Szenario, in dem man dieselbe Option mehrfach auswählt, wie etwa mehrere Kugeln desselben Eisgeschmacks zu bestellen, signalisieren alle, dass Kombinationen mit Ersatz und nicht die einfache Kombinationsformel erforderlich sind.
Zusammenfassung
Kombinationen mit Ersatzrechner wendet C(n + r − 1, r) auf Zählauswahlen an, die wiederholte Elemente erlauben, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, wobei die Sterne-und-Balken-Methode verwendet wird, um die verschobene Formel zu rechtfertigen.
Geben Sie die Anzahl der Optionen n und die Auswahlgröße r ein, um die genaue Anzahl zu erhalten, wobei die Verschiebung nach C(n + r − 1, r) und deren Fakultätserweiterung beide im Arbeitsfeld dargestellt werden.