置換計算機能との組み合わせでは、繰り返しが許可され、順序は重要ではない場合、n 個の使用可能なオプションから r 個の項目の選択をカウントします。適用される式は C(n + r − 1, r) で、一般にスターとバーと呼ばれ、ツールは最終的なカウントとともにシフトされた組み合わせを表示します。
繰り返しを許可する選択範囲をカウントします
通常の組み合わせでは、同じアイテムを 2 回選ぶことは禁止されています。交換用リフトとの組み合わせでは制限が生じます。利用可能なフレーバー 5 からアイスクリームの 3 スクープを選択することは、どのフレーバーでも繰り返すことができますが、単純な組み合わせの問題ではなく、代替との組み合わせの問題です。なぜなら、顧客は同じフレーバーを 3 スクープ注文できるからです。
カウントは C(5 + 3 − 1, 3) で、これは C(7, 3) であり、35 の個別の注文に相当します。
星と棒の方法を理解する
星と棒の方法では、r 個の選択項目間に n − 1 の区切り線を挿入することにより、置換付き選択を通常の組み合わせに変換します。画像 r は選択した項目を表す星と、それらを n 個のビン (オプションごとに 1 つのビン) に区切る n − 1 のバーです。
r 個の星と n − 1 のバーを連続して配置すると、合計 C(r + n − 1, r) 個の配置になります。r + n − 1 のどの位置に星を配置するかを選択することで、全体のレイアウトが決まります。
フレーバーの例を段階的に確認していきます
n = 5 フレーバーと r = 3 スコップの場合、シフトされた組み合わせは C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) となります。 C(7、3)を7として展開します! / (3! × 4!)、つまり (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1)、210 に等しい / 6、または35。
Replacement Calculator との組み合わせでは、この正確な展開が出力されるため、n と r から実際の組み合わせ C(7, 3) への移行は決して隠れたステップではありません。
通常の組み合わせと比較してみる
同じ n = 5 と r = 3 の置換なしの通常の組み合わせは C(5, 3) となり、各フレーバーは 1 回しか選択できないため、10 と等しくなります。
35 の置換ありの数は、同じ n と r の置換なしの数と常に少なくとも同じくらい大きくなります。これは、繰り返しを許可しても有効な選択が追加されるだけで、削除されることはないためです。
より大きな選択例を見てみる
6 の利用可能なオプションから 4 のトッピングを選択する場合、同じトッピングを複数回選択でき、順序は関係ありません。n = 6 および r = 4 を使用します: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4)。
C(9、4)を9として展開します! / (4! × 5!)、つまり (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1)、3024 / 24、または 126 に等しい。 Replacement Calculator と組み合わせると、入力された n と r に対して、これと同じシフトと展開のシーケンスが表示されます。
単語問題で置換言語を認識する
繰り返しを許可する文章問題では、通常、「繰り返しあり」、「繰り返してもよい」、「代替品あり」などのフレーズを使用したり、同じ商品を複数回選択できる食品の注文などのシナリオを説明したりすることができます。
数式を選択する前にこの言語に注目すると、単純な数式ではすべての項目が最大 1 回選択できると暗黙的に想定されるため、デフォルトで単純な組み合わせの数式に到達することがなくなります。
このよくある間違いを避けてください
最も一般的なエラーは、単純な組み合わせ式 C(n, r) を置換付き問題に適用し、実際の選択数を過少カウントすることです。
もう 1 つのよくある間違いは、n と r を間違った方向にシフトし、C(n + r − 1, r) の代わりに C(n + r − 1, n) を計算することです。両方の式は組み合わせの対称性によって数値的に等しいため、この特定のスリップは偶然にも機能しますが、どちらの値が一番上の位置 (r または n − 1) に入るのかを混乱させると機能しません。
よくある質問
置換との組み合わせの公式は何ですか?
置換を伴う組み合わせの式は C(n + r − 1, r) です。ここで、n は使用可能なオプションの数、r は選択された項目の数です。繰り返しは許可され、順序は関係ありません。
5 フレーバーから 3 スクープを、繰り返しが許可されて選択できる方法は何通りありますか?
繰り返しが許可されている5フレーバーから3スクープを選択すると、C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3)となり、35と等しくなります。独特の組み合わせ。
置換ありと置換なしの組み合わせの違いは何ですか?
置換を行わない組み合わせでは、同じ項目を 2 回選択することが禁止され、C(n, r) が使用されます。一方、置換を伴う組み合わせでは、繰り返しが許可され、シフトされた式 C(n + r − 1, r) が使用され、常に少なくとも同じ大きさの結果が返されます。
スターアンドバー法とは何ですか?
星と棒の方法は、r 個の星が n − 1 の棒によって n 個のグループに分割されるとして置換付き選択をモデル化し、計数問題を星と棒の位置の通常の組み合わせ C(n + r − 1, r) に変換します。
置換との組み合わせでは順序は重要ですか?
置換との組み合わせでは順序は関係ありません。 2 リンゴと 1 バナナの選択は、項目が選択された順序に関係なく、1 つの結果としてカウントされます。順序が重要で繰り返しが許可されている場合、カウントには代わりに n の r 乗が使用されます。
置換と組み合わせて r を n より大きくすることはできますか?
置換を伴う組み合わせでは、通常の組み合わせとは異なり、R が n より大きくなることがあります。これは、繰り返しにより、個別のオプションよりも多くの項目を選択できるためです。 3 フレーバーから 10 スクープを選択することは有効であり、C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66 として計算されます。
6 から 4 のトッピングをリピート可能で選択できる方法は何通りありますか?
繰り返しを許可して6から4のトッピングを選択すると、C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4)となり、126と同等になります。組み合わせ。
文章問題のどのフレーズが置き換えとの組み合わせを示していますか?
「繰り返す可能性があります」、「代替品あり」、「繰り返しは許可されています」などのフレーズ、または同じアイスクリームフレーバーを複数スクープ注文するなど、同じオプションを複数回選択することを説明するシナリオはすべて、単純な組み合わせの公式ではなく、代替品との組み合わせが必要であることを示しています。
まとめ
Replacement Calculator と組み合わせると、C(n + r − 1, r) を適用して、順序が重要でない場合に項目の繰り返しを許可する選択をカウントします。星と棒の方法を使用して、シフトされた式を正当化します。
オプションの数 n と選択サイズ r を入力して正確な数を取得し、C(n + r − 1, r) へのシフトとその階乗展開の両方が作業パネルに表示されます。