置換計算による順列は、すべての位置で繰り返しが許可されている場合、n 個のオプションから r 個の選択の順序付けされた配置をカウントします。 r 位置のそれぞれが独立して n 個のオプションをすべて利用できるため、式は n の r 乗になります。
繰り返しを許可する順序付けされた選択を数える
項目が選択されるとプールから削除される通常の置換とは異なり、置換を伴う置換では、各選択後にすべての項目がプールに戻されます。各桁が 0 から 9 まで続き、数字が繰り返される可能性がある 4 桁の PIN を選択することは、置換による置換問題です。 4 の各位置に対する 10 オプションは、10^4 を与えます。 10、000 の PIN が考えられます。
独立した選択から式を導き出す
置換付き配置の r 位置のそれぞれには、プールから何も削除されないため、他の位置で何が選択されたかに関係なく、正確に n 個の選択肢があります。 n 自体を r 回、独立した位置ごとに 1 回ずつ乗算すると、合計数として n^r が得られます。
Replacement Calculator を使用した順列は、これを縮小係数の連鎖ではなく単一の累乗として表示します。これが通常の順列との主な違いです。
パスワードの例を確認する
26 大文字から抽出された3 文字のパスワード (繰り返しが許可されている) には、26^3 の値が可能です。 26 × 26 = 676 を計算し、次に 676 × 26 = 17,576 を計算します。 Replacement Calculator を使用した順列は、17、576 を直接報告し、その横に指数形式 26^3 を表示するため、式と乗算チェーンの間の接続が常に表示されます。
置換なしの順列との比較
同じ n と r を置換せずに並べ替える場合は、n を使用します。 / (n − r)! は、選択した項目をプールから削除すると、後の各位置のオプションの数が減るため、常に n^r 以下になります。
n = 5、r = 3の場合: 置換なしの順列は 5 × 4 × 3 = 60 を与え、一方、置換を含む順列は 5^3 = 125 を与えます。交換すると、3 の各ステップですべてのオプションが利用可能になるため、2 倍より大きくなります。
このよくある間違いを避けてください
実際に繰り返しが許可される問題に対して置換なしの式を使用すると、実際の結果の数が過小評価されます。同じ数字をその位置間で繰り返すことができるコンビネーション ロックには、n ではなく n^r が必要です。 / (n − r)!。
階乗比ではなく指数公式を使用するための信号として、「数字が繰り返される可能性がある」または「置換付き」などの文言の問題を読みます。
ナンバープレートの例を見てみる
3 文字とその後に何も続かないナンバー プレート形式は、各位置での繰り返しが許可された 26 文字から描画され、26^3 の値が可能です。 26 × 26 = 676 を計算し、次に 676 × 26 = 17,576 を計算します。これは上記のパスワードの例と同じ構造ですが、異なるラベル付けコンテキストに適用されます。
Replacement Calculator を使用した順列は、基礎となる計算が変更されることはなく、独立した位置の数と各位置のプールのサイズのみが重要となるため、任意の n と r のペアをこの方法で処理します。
単語問題で置換言語を認識する
特定のフレーズは、置換を伴う問題を確実に示します。たとえば、「各数字が複数回使用される可能性がある」、「置換によって選択が行われる」、「文字が繰り返される可能性がある」、または、サイコロの出目、コイン投げ、またはスピナーのような、後の試行で同じ結果が自然に再発する可能性がある現実世界の設定です。
これらの信号がいずれも表示されず、代わりに「使い果たされる」人、物体、またはアイテムの選択が問題に示されている場合は、代わりに通常の順列または組み合わせがより適切であるかどうかを確認してください。
よくある質問
置換による順列の公式は何ですか?
置換を伴う順列の式は n^r です。ここで、n は使用可能なオプションの数、r は埋められる順序付けされた位置の数であり、すべての位置で繰り返しが許可されます。
数字を繰り返すことができる場合、4 桁の PIN は何個可能ですか?
数字を繰り返すことができる場合、10 の可能な数字 (0 ～ 9) から抽出された 4 桁の PIN は、10^4 = 10、000 の可能な値を持ちます。
置換を伴う置換と置換を伴わない置換の違いは何ですか?
置換なしの順列では、n! を使用して、選択された各項目がプールから削除されます。 / (n − r)! ですが、置換による置換では、n^r を使用してすべての項目がプールに返されます。置換付きカウントは常に少なくとも同じ大きさです。
置換を伴う順列では r が n より大きくなる可能性がありますか?
繰り返しはプールのサイズに上限がないことを意味するため、置換を伴う順列では R が n より大きくなる可能性があります。 3 文字のアルファベットからの 5 文字コードには、繰り返しがあり、3^5 = 243 の値が可能です。
26 文字から繰り返しを許可された 3 文字のパスワードは何個可能ですか?
繰り返しが許可されている場合、26 文字からなる 3 文字のパスワードは、26^3 = 17,576 の可能な値を持ち、26 × 26 × 26 として計算されます。
サイコロを 3 回振ることは、置換を伴う置換問題ですか?
サイコロを 3 回振って、結果の順序付けされたシーケンスを記録することは、置換付き置換問題です。なぜなら、各ロールは、前のロールに関係なく独立して 6 の結果をもつからです: 6^3 = 216 可能な順序付けされたシーケンス。
26 の繰り返しのある文字から、3 文字のナンバー プレート コードは何個可能ですか?
繰り返しが許可されている場合、26 文字から導出された3 文字コードは、26^3 = 17、576 の可能な値を持ちます。両方の問題が同じ n = 26、r = を共有しているため、パスワードの例で使用されたのと同じ計算が行われます。 3 構造。
n または r にゼロを入力するとどうなりますか?
r にゼロを入力すると、結果は n^0 = 1 となります。これは、ゼロの位置を埋める方法が 1 つだけある、つまり何もしないからです。 r が正の場合に n がゼロとして入力された場合、任意の位置を埋めるために使用できるオプションがないため、結果は 0 になります。
コイン投げの例を見てみる
コインを 5 回投げて、表と裏の順序付けられたシーケンスを記録することは、n = 2 および r = 5 の置換付き置換問題です。各コインの投げには独立して 2 があるため、2^5 = 32 の可能な順序付けされたシーケンスになります。前回のフリップに関係なく結果が決まります。
まとめ
置換計算による順列は、n^r を適用して、すべての位置での繰り返しが許可される順序付けされた配置をカウントし、r 位置のそれぞれを n 個のオプションの中の独立した選択肢として扱います。 n と r を入力して正確な数を取得し、反復が真に有効な結果のセットを拡張するたびに、その数が置換なしの置換順列を超えることが期待されます。