تقوم التباديل باستخدام الحاسبة البديلة بحساب الترتيبات المطلوبة لتحديدات r من الخيارات n عندما يُسمح بالتكرار في كل موضع. يتم رفع الصيغة n إلى الأس r، نظرًا لأن كل موقع من مواقع r بشكل مستقل لديه جميع خيارات n المتاحة.
عد التحديدات المطلوبة التي تسمح بالتكرار
على عكس التباديل العادي، الذي يزيل عنصرًا من المجموعة بمجرد اختياره، فإن التباديل مع الاستبدال يعيد كل عنصر إلى المجموعة بعد كل اختيار. يعد اختيار رمز PIN مكون من 4 أرقام حيث يمتد كل رقم من 0 إلى 9 ويمكن تكرار الأرقام بمثابة مشكلة التباديل مع الاستبدال: خيارات 10 لكل موضع من مواضع 4 تعطي 10^4، يساوي 10،000 أرقام التعريف الشخصية المحتملة.
اشتق الصيغة من الاختيارات المستقلة
كل موضع r في الترتيب مع الاستبدال له n اختيارات بالضبط، بشكل مستقل عما تم اختياره في أي موضع آخر، لأنه لا تتم إزالة أي شيء من المجموعة. ضرب n في نفسه r مرات، مرة واحدة لكل موضع مستقل، يعطي n^r كعدد إجمالي.
تظهر التباديل باستخدام حاسبة الاستبدال هذا على أنه أسي واحد وليس سلسلة من عوامل التقلص، وهو الفرق الرئيسي عن التباديل العادية.
العمل من خلال مثال كلمة المرور
كلمة المرور المكونة من أحرف 3 مأخوذة من 26 أحرف كبيرة، مع السماح بالتكرار، لها 26^3 قيم محتملة. احسب 26 × 26 = 676، ثم 676 × 26 = 17،576. التباديل مع تقارير الآلة الحاسبة البديلة 17,576 مباشرة وتظهر شكل الأس 26^3 بجانبه، بحيث يظل الاتصال بين الصيغة وسلسلة الضرب مرئيًا.
قارن مع التباديل بدون استبدال
التباديل بدون استبدال لنفس n و r استخدم n! / (n − r)!، وهو دائمًا أصغر من أو يساوي n^r، نظرًا لأن إزالة العناصر المختارة من المجموعة يقلل من عدد الخيارات في كل موضع لاحق.
بالنسبة إلى n = 5، r = 3: التباديل بدون استبدال تعطي 5 × 4 × 3 = 60، بينما التباديل مع الاستبدال تعطي 5^3 = 125، أكثر من الضعف، لأن الاستبدال يبقي كل خيار متاحًا في كل خطوة من خطوات 3.
تجنب هذا الخطأ الشائع
إن استخدام صيغة عدم الاستبدال لمشكلة تسمح فعليًا بالتكرار يقلل من العدد الحقيقي للنتائج. القفل المركب الذي يسمح لنفس الرقم بالتكرار عبر مواضعه يحتاج إلى n^r، وليس n! / (ن , ص)!.
اقرأ المشكلة للغة مثل "قد تتكرر الأرقام" أو "مع الاستبدال" كإشارة لاستخدام صيغة الأس بدلاً من نسبة الضرب.
العمل من خلال مثال لوحة الترخيص
تنسيق لوحة الترخيص الذي يستخدم أحرف 3 متبوعًا بأي شيء آخر، مأخوذ من أحرف 26 مع التكرار المسموح به في كل موضع، له 26^3 قيم محتملة. قم بحساب 26 × 26 = 676، ثم 676 × 26 = 17،576، نفس البنية مثل مثال كلمة المرور أعلاه ولكن يتم تطبيقها على سياق تصنيف مختلف.
تتعامل التباديل مع حاسبة الاستبدال مع أي زوج من n وr بهذه الطريقة، نظرًا لأن الرياضيات الأساسية لا تتغير أبدًا: فقط عدد المواضع المستقلة وحجم المجمع في كل موضع هو المهم.
التعرف على لغة الاستبدال في المسألة اللفظية
تشير بعض العبارات بشكل موثوق إلى مشكلة الاستبدال: "يمكن استخدام كل رقم أكثر من مرة"، أو "يتم إجراء التحديدات مع الاستبدال"، أو "يمكن تكرار الحرف"، أو إعداد حقيقي مثل رمي القالب، أو قلب العملة، أو الدوار حيث يمكن أن تتكرر نفس النتيجة بشكل طبيعي في تجربة لاحقة.
عندما لا تظهر أي من هذه الإشارات وتكون المشكلة بدلاً من ذلك تصف اختيار الأشخاص أو الكائنات أو العناصر التي "تُستنفد"، تحقق مما إذا كانت التباديل أو المجموعات العادية هي الأفضل بدلاً من ذلك.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة التباديل مع الاستبدال؟
صيغة التباديل مع الاستبدال هي n^r، حيث n هو عدد الخيارات المتاحة وr هو عدد المواضع المطلوبة التي يتم ملؤها، مع السماح بالتكرار في كل موضع.
كم عدد أرقام التعريف الشخصية 4 الممكنة إذا كانت الأرقام قابلة للتكرار؟
إذا كان من الممكن تكرار الأرقام، فإن رقم التعريف الشخصي 4 المكون من أرقام مأخوذ من 10 الأرقام المحتملة (0 إلى 9) يحتوي على 10^4 = 10,000 القيم المحتملة.
ما الفرق بين التباديل مع وبدون استبدال؟
التباديل بدون استبدال يزيل كل عنصر تم اختياره من المجموعة باستخدام n! / (n - r)!، بينما تقوم التباديل مع الاستبدال بإرجاع كل عنصر إلى التجمع، باستخدام n^r. يكون عدد الاستبدال دائمًا كبيرًا على الأقل.
هل يمكن أن يكون r أكبر من n في التباديل مع الاستبدال؟
يمكن أن يكون R أكبر من n في التباديل مع الاستبدال، حيث أن التكرارات تعني عدم وجود حد أعلى مرتبط بحجم التجمع. رمز 5 من الأبجدية المكونة من 3 مع التكرارات، يحتوي على 3^5 = 243 القيم المحتملة.
كم عدد كلمات المرور المكونة من أحرف 3 الممكنة من أحرف 26 مع التكرار المسموح به؟
مع السماح بالتكرار، تحتوي كلمة المرور المكونة من 3 من أحرف 26 على 26^3 = 17,576 قيم محتملة، محسوبة على النحو التالي 26 × 26 × 26.
هل رمي حجر النرد 3 مرة يمثل مشكلة التباديل مع الاستبدال؟
يعد رمي حجر النرد 3 مرة وتسجيل التسلسل المرتب للنتائج مشكلة التباديل مع الاستبدال، نظرًا لأن كل لفة بشكل مستقل لها نتائج 6 بغض النظر عن اللفات السابقة: 6^3 = 216 تسلسلات مرتبة محتملة.
كم عدد رموز لوحة الترخيص التي تحتوي على أحرف 3 الممكنة من أحرف 26 ذات التكرارات؟
مع السماح بالتكرار، رمز 3 مستمد من أحرف 26 يحتوي على 26^3 = 17,576 قيم محتملة، نفس الحساب المستخدم لمثال كلمة المرور، حيث أن كلا المشكلتين تشتركان في نفس المشكل n = 26، r = هيكل 3.
ماذا يحدث إذا تم إدخال n أو r كصفر؟
إذا تم إدخال r كصفر، فإن النتيجة هي n^0 = 1، حيث أن هناك طريقة واحدة بالضبط لملء المراكز الصفرية: عدم القيام بأي شيء. إذا تم إدخال n كصفر بينما r موجب، تكون النتيجة 0، نظرًا لعدم وجود خيارات متاحة لملء أي منصب.
العمل من خلال مثال الوجه العملة
يعد تقليب العملة المعدنية 5 مرة وتسجيل التسلسل المرتب للرؤوس والذيول مشكلة التباديل مع الاستبدال مع n = 2 وr = 5: 2^5 = 32 تسلسلات مرتبة محتملة، نظرًا لأن كل قلب بشكل مستقل له نتائج 2 بغض النظر عن التقلبات السابقة.
ملخص
تطبق التباديل مع حاسبة الاستبدال n^r لحساب الترتيبات المطلوبة حيث يُسمح بالتكرار في كل موضع، مع التعامل مع كل موضع r كاختيار مستقل من بين خيارات n. أدخل n وr للحصول على العدد الدقيق، وتوقع أن يتجاوز التقليب المطابقة بدون استبدال عندما يؤدي التكرار إلى توسيع مجموعة النتائج الصالحة.