تحسب حاسبة التقليب P(n, r)، عدد الترتيبات المرتبة لكائنات r المختارة من عدد n من الكائنات المميزة، مع عدم إعادة استخدام أي كائن. الصيغة ن! / (ن - ص)! يتم تقليله إلى منتج قصير من الأعداد الصحيحة المتتالية، والتي تعرضها الأداة موسعة.
الترتيب مهم في التقليب
يحسب التقليب ترتيبًا ما، لذا فإن اختيار نفس الكائنات في تسلسل مختلف يؤدي إلى نتيجة مميزة. يعد اختيار الرئيس ونائب الرئيس وأمين الصندوق من بين أعضاء لجنة 9 بمثابة مشكلة التقليب، نظرًا لأن نفس الأشخاص الثلاثة الذين تم ترتيبهم في أدوار مختلفة يعتبرون نتائج مختلفة. أدخل n = 9، r = 3 لحساب P(9، 3).
حساب P (9، 3) خطوة بخطوة
ع(9، 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. كل عامل من 6 للأسفل يظهر في كل من البسط والمقام، لذا يُلغى، ويتبقى 9 × 8 × 7، وهو ما يساوي 504.
حاسبة التقليب تكتب هذا الإلغاء بشكل صريح، موضحة لماذا فقط عوامل r العليا لـ n! البقاء على قيد الحياة بدلاً من المطالبة بحساب المضروب الكامل ثم تقسيمه.
اقرأ اختصار العد التنازلي للضرب
هناك طريقة مكافئة لحساب التقليب بدون تدوين مضروب وهي ضرب n بكل عدد صحيح تحته، r في الإجمالي. بالنسبة إلى P(9، 3): ابدأ عند 9، واضرب بـ 8 (واحد أقل)، ثم بـ 7 (واحد أقل مرة أخرى)، وتوقف بعد عوامل 3.
يتطابق هذا الاختصار مع منطق العد المباشر: 9 اختيارات للدور الأول، 8 اختيارات متبقية للدور الثاني، 7 اختيارات متبقية للدور الثالث.
التعامل مع الحالات الحافة
P(n, 0) تساوي دائمًا 1، حيث أن هناك طريقة واحدة بالضبط لترتيب العناصر الصفرية: عدم القيام بأي شيء. P(n, n) تساوي دائمًا n!، حيث يتم وضع كل عنصر وعدم ترك أي شيء.
تقوم حاسبة التقليب بإرجاع خطأ خارج النطاق عندما يتجاوز r n، لأنه لا يوجد ما يكفي من الكائنات المميزة لملء أكثر من n من المواضع المرتبة دون السماح بالتكرار.
تجنب هذا الخطأ الشائع
إن الخلط بين التقليب والتوليفة يقلل من العدد الحقيقي للنتائج عندما تكون المشكلة تهتم فعليًا بالترتيب. يعد اختيار 3 أشخاصًا للعمل في لجنة معًا، دون أدوار مميزة، بمثابة مزيج، C(9, 3) = 84.
يعد تعيين 3 أدوارًا مميزة لـ 3 من نفس الأشخاص بمثابة تبديل، P(9، 3) = 504، أكبر بست مرات لأن كل مجموعة من 3 يمكن ترتيبها في أدوار في 3! = 6 بطرق مختلفة.
العمل من خلال المثال الثاني
ضع في اعتبارك ترتيب أفضل المتسابقين 4 من بين متسابقي 10 في السباق، حيث يكون المركز 1st و2nd و3rd و4 جميعها نتائج مميزة. هذا هو P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040.
تحدد حاسبة التقليب كل عامل من العوامل الأربعة التنازلية بحيث تكون سلسلة الضرب من 10 إلى 7 مرئية قبل ظهور المنتج النهائي. لاحظ أن عوامل r = 4 مضروبة، بما يتوافق مع المراكز الأربعة التي يتم شغلها.
ربط التباديل بمشكلات التسلسل الحقيقية
تظهر التباديل عندما يجب أن يتلقى كل عدد ثابت من الفتحات المميزة عنصرًا مختلفًا من مجموعة أكبر: تعيين ترتيب الضرب للاعبين المختارين من القائمة، أو جدولة مجموعة فرعية من المهام في فترات زمنية مرتبة، أو إصدار أرقام تسلسلية حيث يجب أن يكون كل موضع رقم فريدًا.
الاختبار المتكرر هو ما إذا كان تبديل عنصرين مختارين في فتحات مختلفة يغير النتيجة. إذا كان الأمر كذلك، يحتاج العدد إلى P(n, r); إذا لم يُحدث تبديل الفتحات أي فرق، فستحتاج المشكلة بدلاً من ذلك إلى C(n, r).
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة التقليب؟
صيغة التقليب هي P(n, r) = n! / (ن - ص)!، حيث n هو العدد الإجمالي للعناصر المميزة المتاحة وr هو العدد المرتب بالترتيب.
كيف تحسب P (9، 3)؟
لحساب P(9، 3)، قسّم 9! بواسطة 6!، والذي يلغي إلى 9 × 8 × 7، يساوي 504.
ماذا يعني عندما يكون الترتيب مهمًا في التقليب؟
الترتيب المهم في التقليب يعني أن ترتيب نفس المجموعة من العناصر المختارة بشكل مختلف يؤدي إلى نتيجة متميزة ومُحصاة بشكل منفصل. يختلف تعيين "Alex أولاً، وSam ثانيًا" عن "Sam أولاً، وAlex ثانيًا"، على الرغم من اختيار نفس الشخصين.
ما هو P(ن، ن)؟
ف(ن، ن) يساوي ن! بالضبط، لأن ترتيب جميع العناصر المتاحة يستخدم كل واحد منها دون استبعاد أي عناصر. ع(5، 5) = 5! = 120.
هل يمكن أن يكون r أكبر من n في التقليب؟
لا يمكن أن يكون R أكبر من n في التقليب بدون تكرار، نظرًا لعدم وجود عناصر مميزة كافية لشغل أكثر من n من المواضع. تقوم حاسبة التقليب بوضع علامة على هذه الحالة على أنها خارج النطاق بدلاً من إرجاع الصفر.
كيف يختلف التقليب عن المجموعة؟
التقليب يحسب الترتيبات المرتبة ويكون دائمًا r! مرات أكبر من المجموعة المقابلة، والتي تحسب نفس الاختيارات دون النظر إلى الترتيب. استخدم التقليب عندما يتم تعيين أدوار أو رتب أو مناصب مميزة للعناصر المختارة.
ما هو P(10، 4)؟
P(10، 4) يساوي 10! / 6!، والذي يُبسط إلى 10 × 9 × 8 × 7، يساوي 5،040 الترتيبات المطلوبة لعناصر 4 المختارة من 10.
هل ترتيب إدخال n وr مهم في الآلة الحاسبة؟
نعم، يجب أن يكون n دائمًا الحجم الإجمالي للمجموعة وr عدد المراكز المملوءة؛ يؤدي إدخالها بالترتيب الخاطئ إلى تغيير المعادلة التي يتم حلها، وما لم تساوي n r، فإنها تنتج نتيجة مختلفة وغير صحيحة.
لماذا تذكر مشكلة التقليب في كثير من الأحيان أدوارًا أو رتبًا مميزة؟
غالبًا ما تذكر مشكلة التقليب أدوارًا أو رتبًا مميزة لأن هذه اللغة هي بالضبط ما يهم ترتيب الإشارات؛ وبدون سمة مميزة مثل الدور أو الرتبة أو تسمية المنصب المرفقة بكل تحديد، فمن المرجح أن تكون المشكلة هي طلب مجموعة بدلاً من ذلك.
ملخص
حاسبة التقليب تحسب P(n, r) = n! / (ن - ص)! للتحديدات المرتبة لـ r عناصر متميزة من n من العناصر المتاحة، وتوسيع نسبة العامل إلى منتج قصير من r أعداد صحيحة متتالية.
أدخل n وr للحصول على العدد الدقيق، وتذكر أن تعيين أدوار أو رتب مميزة للعناصر المختارة هو إشارة إلى أن التقليب، وليس المجموعة، هو الصيغة الصحيحة.