nPr تحسب الآلة الحاسبة P(n, r)، عدد الترتيبات المطلوبة لعناصر r المختارة من عناصر n المميزة دون تكرار. الصيغة ن! مقسومًا على (n - r)!، وتطبع الأداة توسيع المضروب إلى جانب العدد الصحيح النهائي.
حساب P(n, r) مباشرة
تحسب التباديل الترتيبات التي يكون فيها النظام مهمًا، على عكس المجموعات. يعد اختيار المركز الأول والثاني والثالث من المتسابقين 8 مشكلة P(8، 3)، نظرًا لأن تعيين نفس المتسابقين الثلاثة في مواضع مختلفة يعد بمثابة نتائج مختلفة. P(8، 3) يساوي 8! / 5!، والذي يُبسط إلى 8 × 7 × 6، يساوي 336.
قم بتوسيع نسبة العامل
ن! / (ن - ص)! يبسط إلى منتج r الأعداد الصحيحة المتتالية العد التنازلي من n، لأن كل حد من (n - r)! يلغي النزولي من كامل n! توسع. nPr الحاسبة تظهر هذا الإلغاء مباشرة: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
ضرب العوامل الثلاثة الباقية يعطي 336 دون الحاجة إلى حساب أي من العاملين بالكامل.
العمل من خلال مثال أصغر باليد
بالنسبة إلى P(5، 2)، قم بإدراج الاختيارات مباشرة: خيارات 5 للمركز الأول، ثم 4 الخيارات المتبقية للثاني، مما يعطي 5 × 4 = 20.
هذا يطابق الصيغة: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. nPr تستخدم الآلة الحاسبة نفس طريقة العد التنازلي للضرب داخليًا لأي n وr، وبالتالي فإن الخطوات المطبوعة تعكس ما قد ينتج عن العد اليدوي للحالات الصغيرة.
قارن التباديل بالمجموعات
تقوم كل من التباديل والتوليفات بتحديد عناصر r من n، لكن التباديل تضرب عدد المجموعات بـ r! لحساب كل طلب من العناصر المختارة. P(n, r) = C(n, r) × r!.
بالنسبة لـ n = 8، r = 3، C(8، 3) = 56 و3! = 6، و56 × 6 = 336، مطابقة P(8، 3) تمامًا.
عندما تهتم مشكلة بترتيب المهمة أو الرتبة أو التسلسل، فإن التباديل هو العدد الصحيح؛ عندما تكون عضوية المجموعة فقط هي المهمة، تكون المجموعات صحيحة بدلاً من ذلك.
تجنب هذا الخطأ الشائع
يعد استخدام الصيغة المركبة لمسألة تسأل فعليًا عن الترتيب هو الخطأ الأكثر شيوعًا في مسائل nPr. يعد تخصيص ثلاث ميداليات مميزة (ذهبية وفضية وبرونزية) لثلاثة من المتسابقين الثمانية بمثابة مهمة مرتبة، لذا فهي تحتاج إلى P(8، 3) = 336، وليس C(8، 3) = 56.
الصيغة الخاطئة تقلل من العدد الحقيقي بعامل r!، لأنها تفشل في التمييز بين العداء الذي حصل على الميدالية.
العمل من خلال مثال الجدولة
يعد تخصيص 3 فترات زمنية مختلفة لـ 3 من 7 المتقدمين للوظائف المتاحين لإجراء المقابلات مشكلة nPr، نظرًا لأن كل متقدم يحصل على فترة محددة ومرتبة.
حساب P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. nPr تعرض الآلة الحاسبة ذلك على شكل ثلاثة عوامل تنازلية تبدأ من 7، مطابقة لمنطق العد المباشر: 7 اختيارات للفتحة الأولى، 6 المتبقية للثانية، 5 المتبقية للثالثة.
التعرف على اللغة الحساسة للترتيب في مسألة كلامية
تصف المسائل اللفظية التي تحتاج إلى nPr عادةً تعيين ألقاب أو رتب أو فترات زمنية مميزة: "المركز الأول والثاني والثالث"، و"الرئيس ونائب الرئيس"، و"الفترة الصباحية والفترة المسائية". عندما تصف المشكلة بدلاً من ذلك اختيار مجموعة غير مرتبة، مثل "لجنة 3" أو "فريق 5،" مع عدم وجود أدوار مميزة مرفقة، nCr هي الصيغة الصحيحة بدلاً من ذلك.
إن القراءة لمعرفة ما إذا كانت العناصر المختارة تحصل على تسميات مميزة هي أسرع طريقة للتمييز بين الاثنين.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة nPr؟
صيغة nPr هي P(n, r) = n! / (ن - ص)!، حيث n هو العدد الإجمالي للعناصر المميزة وr هو الرقم الذي تم اختياره وترتيبه بالترتيب.
كيف تحسب P (8، 3)؟
لحساب P(8، 3)، قسّم 8! بواسطة 5!، والذي يبسط إلى 8 × 7 × 6، يساوي 336. العوامل المتبقية من 5! إلغاء كامل 8 بالكامل! توسع.
ما الفرق بين nPr و nCr؟
nPr يحسب الترتيبات المطلوبة ويساوي n! / (ن - ص)!، بينما nCr تحسب التحديدات غير المرتبة وتساوي n! / (ص! × (ن , ص)!). nPr دائمًا ص! مرات أكبر من nCr لنفس n وr، نظرًا لأنه يحسب أيضًا كل طلب للعناصر المختارة.
هل يمكن أن تكون r أكبر من n في nPr؟
لا يمكن أن يكون R أكبر من n في nPr بدون استبدال، نظرًا لعدم وجود عناصر مميزة كافية لملء أكثر من n من المواضع المطلوبة. nPr تقوم الحاسبة بإرجاع رسالة خارج النطاق عندما يتجاوز r n.
ما هو P(ن، ن)؟
P(n, n) يساوي n!، المضروب الكامل لـ n، نظرًا لأن ترتيب جميع عناصر n بالترتيب يستخدم كل عنصر دون ترك أي عناصر. ع(4، 4) = 4! = 24.
ما هو P(n, 0)؟
P(n, 0) تساوي 1 لأي n، لأن هناك طريقة واحدة بالضبط لترتيب العناصر الصفرية: لا تفعل شيئًا. وهذا يتوافق مع الاتفاقية التي 0! يساوي 1.
ما هو P(7، 3)؟
P(7، 3) يساوي 7! / 4!، والذي يُبسط إلى 7 × 6 × 5، يساوي 210 الترتيبات المطلوبة للعناصر 3 المختارة من 7.
لماذا يكون nPr دائمًا أكبر من nCr لنفس n وr؟
nPr دائمًا أكبر من nCr لنفس n وr (عندما تكون r أكبر من 1) لأن nPr تحسب بشكل منفصل كل طلب للعناصر المختارة، بينما تقوم nCr بتجميع كل تلك الطلبات في تحديد واحد غير مرتب. النسبة الدقيقة بينهما هي r!.
هل يمكن حساب nPr دون كتابة العوامل الكاملة؟
nPr يمكن حسابها دون كتابة المضروب الكامل عن طريق ضرب أكبر الأعداد الصحيحة المتتالية فقط من n، حيث أن كل عامل أصغر يلغي بين البسط والمقام في النسبة n! / (ن , ص)!.
ملخص
nPr الآلة الحاسبة تحسب P(n, r) = n! / (ن - ص)! للتحديدات المطلوبة دون تكرار، يُظهر إلغاء المضروب كمنتج لعدد r من الأعداد الصحيحة المتتالية التي تعد تنازليًا من n. أدخل n وr للحصول على عدد التقليب الدقيق، وقارن مع nCr عندما لا تهتم المشكلة بترتيب العناصر المحددة.