nPr 計算機は P(n, r) を計算します。これは、n 個の異なるアイテムから選択された r 個のアイテムの順序付けされた配列の繰り返しなしの数です。式はnです！ (n − r)! で除算すると、ツールは最終的な整数と一緒に階乗展開を出力します。
P(n, r) を直接計算する
順列は、組み合わせとは異なり、順序が重要な配置をカウントします。 8 出走馬から 1 着、2 着、3 着馬を選択することは、P(8, 3) 問題です。同じ 3 頭の出走馬を異なる枠に割り当てると、異なる結果としてカウントされるためです。 P(8, 3) は 8 に等しい! / 5!、これは 8 × 7 × 6 に単純化され、336 と等しくなります。
要因比率を拡大する
ん！ / (n − r)!すべての項は (n − r)! であるため、n からカウントダウンして r 個の連続する整数の積に単純化されます。下向きは完全な n をキャンセルします!拡大。 nPr 電卓はこのキャンセルを直接示します: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6
3 つの生き残った因数を乗算すると、どちらかの階乗を完全に計算する必要がなく、336 が得られます。
小さな例を手動で実行する
P(5, 2) の場合、選択肢を直接リストします: 最初の位置に 5 オプション、次に 2 番目の残りのオプション 4 を与え、5 × 4 = 20 となります。
これは式「5」と一致します! / 3! = 120 / 6 = 20。 nPr 電卓は、任意の n と r に対してこれと同じカウントダウン乗算方法を内部で使用するため、印刷されるステップは、小さなケースでハンドカウントが生成するものを反映しています。
順列と組み合わせを比較する
順列と組み合わせはどちらも n から r 個の項目を選択しますが、順列では組み合わせの数が r! 倍になります。選択したアイテムのすべての注文を考慮します。 P(n, r) = C(n, r) × r!。
n = 8、r = 3、C(8、3) = 56、3 の場合! = 6、および 56 × 6 = 336、P(8, 3) と完全に一致します。
問題で割り当ての順序、ランク、シーケンスが考慮される場合は常に、順列が正しい数になります。グループのメンバーシップだけが重要な場合は、その組み合わせは正しいものになります。
このよくある間違いを避けてください
実際に順序を問う問題で組み合わせ公式を使用することは、nPr 問題で最も一般的なエラーです。 3 つの異なるメダル (金、銀、銅) を 8 人のランナーのうち 3 人に割り当てるのは順序付けされた割り当てであるため、C(8, 3) = 56 ではなく、P(8, 3) = 336 が必要です。
間違った式では、どのランナーがどのメダルを獲得したかを区別できないため、実際のカウントが r! の係数で過小評価されます。
スケジュール設定の例を見てみる
7 の面接可能な求職者のうち 3 に異なる時間枠 3 を割り当てることは、各応募者に個別の順序付けられたスロットが割り当てられるため、nPr の問題になります。
P(7, 3) = 7 を計算してください! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210。 nPr 計算機は、これを 7 から始まる 3 つの降順係数として表示し、直接カウント ロジックに一致します。最初のスロットには 7 が選択され、2 番目には 6 が残り、3 番目には 5 が残ります。
文章問題で順序に依存する言語を認識する
nPr が必要な文章問題では、通常、「1 位、2 位、3 位」、「社長と副社長」、「午前の枠と午後の枠」など、明確なタイトル、順位、または時間枠を割り当てることについて説明します。代わりに、「3 の委員会」や「5 のチーム」など、明確な役割が割り当てられていない、順序のないグループを選択する問題が記述されている場合は、代わりに nCr が正しい式になります。
選択したアイテムに識別可能なラベルが付いているかどうかを読み取ることが、2 つを区別する最も早い方法です。
よくある質問
nPr の公式は何ですか?
nPr の式は P(n, r) = n です。 / (n − r)!、ここで、n は個別のアイテムの総数、r は選択され、順番に配置された数です。
P(8, 3)はどのように計算しますか?
P(8, 3) を計算するには、8 を割ります。 5! により、8 × 7 × 6 に簡略化され、336 と等しくなります。 5の残りの要素！完全にキャンセルしてください8!拡大。
nPr と nCr の違いは何ですか?
nPr は順序付けられた配置をカウントし、n と等しくなります。 / (n − r)!、一方、nCr は順序付けされていない選択をカウントし、n! と等しくなります。 / (r! × (n − r)!)。 nPr は常に r!選択した項目のすべての順序もカウントするため、同じ n と r の場合は nCr よりも大きくなります。
nPr では r が n より大きくなる可能性はありますか?
n を超える順序付けされた位置を埋めるのに十分な個別の項目がないため、置換せずに nPr で R を n より大きくすることはできません。 nPr r が n を超えると、電卓は範囲外のメッセージを返します。
P(n, n) とは何ですか?
すべての n 項目を順番に配置すると、項目が残らないようにすべての項目が使用されるため、P(n, n) は n! (n の完全な階乗) に等しくなります。 P(4, 4) = 4! = 24。
P(n, 0) とは何ですか?
P(n, 0) は、任意の n に対して 1 と等しくなります。これは、ゼロ項目を配置する方法が 1 つだけあるからです。それは、何もしないことです。これは、0 という規則と一致します。 1 に相当します。
P(7、3)とは何ですか?
P(7, 3) は 7 に等しい! / 4!、これは 7 × 6 × 5 に簡略化され、7 から選択された3 項目の順序付けされた210 に等しい。
同じ n と r に対して、nPr が常に nCr より大きいのはなぜですか?
nPr は、同じ n と r の場合 (r が 1 より大きい場合) 常に nCr より大きくなります。これは、nPr が選択された項目のすべての順序を個別にカウントするのに対し、nCr はそれらの順序すべてを 1 つの順序なしの選択にグループ化するためです。それらの間の正確な比率は r! です。
nPr は完全な階乗を書き出さずに計算できますか?
nPr は、比率 n の分子と分母の間ですべての小さな因数が相殺されるため、n からカウントダウンして連続する最大 r 個の整数のみを乗算することによって、完全な階乗を書き出すことなく計算できます。 / (n − r)!。
まとめ
nPr 電卓は P(n, r) = n を計算します! / (n − r)!繰り返しのない順序付き選択の場合、階乗キャンセルを n からカウントダウンした r 個の連続する整数の積として示します。 n と r を入力して正確な順列数を取得し、選択した項目の順序が問題に関係ない場合は nCr と比較します。