nPr Kalkulator menghitung P(n, r), yaitu jumlah susunan berurutan dari r item yang dipilih dari n item berbeda tanpa pengulangan. Rumusnya adalah n! dibagi dengan (n − r)!, dan alat mencetak ekspansi faktorial di samping bilangan bulat akhir.
Menghitung P(n, r) secara langsung
Permutasi menghitung pengaturan di mana urutan penting, berbeda dengan kombinasi. Memilih juara pertama, kedua, dan ketiga dari pelari 8 adalah masalah P(8, 3), karena menetapkan tiga pelari yang sama pada penempatan berbeda dihitung sebagai hasil yang berbeda. P(8, 3) sama dengan 8! / 5!, yang disederhanakan menjadi 8 × 7 × 6, sama dengan 336.
Perluas rasio faktorial
n! / (n − r)! menyederhanakan menjadi hasil kali r bilangan bulat berturut-turut yang menghitung mundur dari n, karena setiap suku dari (n − r)! ke bawah membatalkan dari seluruh n! ekspansi. Kalkulator nPr menunjukkan pembatalan ini secara langsung: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
Mengalikan tiga faktor yang masih ada menghasilkan 336 tanpa perlu menghitung faktorial secara penuh.
Kerjakan contoh yang lebih kecil secara manual
Untuk P(5, 2), daftar pilihan secara langsung: opsi 5 untuk posisi pertama, lalu opsi 4 sisa untuk posisi kedua, memberikan 5 × 4 = 20.
Ini sesuai dengan rumus: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. nPr Kalkulator menggunakan metode perkalian mundur yang sama secara internal untuk n dan r, sehingga langkah yang dicetak mencerminkan apa yang dihasilkan hitungan manual untuk kasus kecil.
Bandingkan permutasi dengan kombinasi
Permutasi dan kombinasi keduanya memilih r item dari n, tetapi permutasi mengalikan jumlah kombinasi dengan r! untuk memperhitungkan setiap urutan item yang dipilih. P(n, r) = C(n, r) × r!.
Untuk n = 8, r = 3, C(8, 3) = 56 dan 3! = 6, dan 56 × 6 = 336, cocok dengan P(8, 3) secara tepat.
Setiap kali sebuah masalah berkaitan dengan urutan penugasan, peringkat, atau urutan, permutasi adalah jumlah yang benar; ketika hanya keanggotaan kelompok yang penting, kombinasi yang menjadi yang benar.
Hindari kesalahan umum ini
Menggunakan rumus kombinasi untuk masalah yang benar-benar menanyakan urutan adalah kesalahan paling umum pada masalah nPr. Memberikan tiga medali berbeda (emas, perak, perunggu) kepada tiga dari delapan pelari adalah penugasan terurut, sehingga dibutuhkan P(8, 3) = 336, bukan C(8, 3) = 56.
Rumus yang salah meremehkan hitungan sebenarnya sebesar faktor r!, karena gagal membedakan pelari mana yang mendapatkan medali mana.
Kerjakan contoh penjadwalan
Menetapkan slot waktu 3 yang berbeda untuk 3 dari 7 pelamar yang tersedia untuk wawancara adalah masalah nPr, karena setiap pelamar mendapatkan slot yang berbeda dan terurut.
Hitung P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. nPr Kalkulator menunjukkan ini sebagai tiga faktor menurun yang dimulai dari 7, sesuai dengan logika penghitungan langsung: 7 pilihan untuk slot pertama, 6 tersisa untuk slot kedua, 5 tersisa untuk slot ketiga.
Mengenali bahasa yang sensitif terhadap urutan dalam masalah kata
Soal kata yang membutuhkan nPr biasanya menggambarkan penugasan gelar, pangkat, atau slot waktu yang berbeda: "tempat pertama, kedua, dan ketiga," "presiden dan wakil presiden," "slot pagi dan slot sore." Ketika sebuah masalah justru menggambarkan pemilihan kelompok tanpa urutan, seperti "komite 3" atau "tim 5," tanpa peran yang jelas, nCr adalah rumus yang benar.
Membaca apakah item yang dipilih mendapatkan label yang dapat dibedakan adalah cara tercepat untuk membedakan keduanya.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus untuk nPr?
Rumus untuk nPr adalah P(n, r) = n! / (n − r)!, di mana n adalah jumlah total item yang berbeda dan r adalah angka yang dipilih dan diatur secara berurutan.
Bagaimana cara menghitung P(8, 3)?
Untuk menghitung P(8, 3), bagi 8! dengan 5!, yang disederhanakan menjadi 8 × 7 × 6, sama dengan 336. Sisa faktor dari 5! batalkan sepenuhnya dari seluruh 8! ekspansi.
Apa perbedaan antara nPr dan nCr?
nPr menghitung susunan berurutan dan sama dengan n! / (n − r)!, sementara nCr menghitung pilihan tak berurutan dan sama dengan n! / (r! × (n − r)!). nPr selalu r! dikali lebih besar dari nCr untuk n dan r yang sama, karena juga menghitung setiap urutan item yang dipilih.
Apakah r bisa lebih besar dari n dalam nPr?
R tidak boleh lebih besar dari n pada nPr tanpa penggantian, karena tidak ada cukup item yang berbeda untuk mengisi lebih dari n posisi yang diurutkan. nPr Kalkulator mengembalikan pesan di luar jangkauan ketika r melebihi n.
Apa itu P(n, n)?
P(n, n) sama dengan n!, faktorial penuh dari n, karena mengatur semua n item secara berurutan menggunakan setiap item tanpa item tersisa. P(4, 4) = 4! = 24.
Apa itu P(n, 0)?
P(n, 0) sama dengan 1 untuk setiap n, karena ada satu cara untuk mengatur nol item: tidak melakukan apa-apa. Ini sesuai dengan konvensi bahwa 0! sama dengan 1.
Apa itu P(7, 3)?
P(7, 3) sama dengan 7! / 4!, yang disederhanakan menjadi 7 × 6 × 5, sama dengan susunan terurut 210 dari item 3 yang dipilih dari 7.
Mengapa nPr selalu lebih besar dari nCr untuk n dan r yang sama?
nPr selalu lebih besar dari nCr untuk n dan r yang sama (ketika r lebih besar dari 1) karena nPr secara terpisah menghitung setiap urutan item yang dipilih, sementara nCr mengelompokkan semua urutan tersebut ke dalam satu pilihan tanpa urutan. Rasio tepat di antara mereka adalah r!.
Apakah nPr dapat dihitung tanpa menuliskan faktorial lengkap?
nPr dapat dihitung tanpa menuliskan seluruh faktorial dengan mengalikan hanya bilangan bulat berturut-turut terbesar r yang menghitung mundur dari n, karena setiap faktor yang lebih kecil akan membatalkan antara pembilang dan penyebut dalam rasio n! / (n − r)!.
Ringkasan
nPr Kalkulator menghitung P(n, r) = n! / (n − r)! untuk seleksi terurut tanpa pengulangan, menampilkan pembatalan faktorial sebagai hasil kali r bilangan bulat berturut-turut yang menghitung mundur dari n. Masukkan n dan r untuk mendapatkan jumlah permutasi yang tepat, dan bandingkan dengan nCr ketika masalah tidak memperhatikan urutan item yang dipilih.