nPr Calcule P(n, r), le nombre des arrangements ordonnés de r éléments choisis parmi n éléments distincts sans répétition. La formule est n! divisé par (n − r)!, et l’outil imprime l’expansion factorielle à côté de l’entier final.
Calculer directement P(n, r)
Les permutations comptent les arrangements lorsque l’ordre compte, contrairement aux combinaisons. Choisir un premier, un deuxième et un troisième parmi 8 coureurs est un problème P(8, 3), car attribuer les mêmes trois coureurs à des placements différents compte comme des résultats différents. P(8, 3) égale 8! / 5!, ce qui se simplifie en 8 × 7 × 6, soit 336.
Élargir le rapport factoriel
n! / (n − r)! se simplifie en produit de r entiers consécutifs décomptant à rebours à partir de n, car chaque terme de (n − r)! Downward annule le N complet! expansion. nPr Calculatrice montre cette annulation directement: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
Multiplier les trois facteurs survivants donne 336 sans avoir besoin de calculer l’un ni l’autre factoriel en totalité.
Travaillez un exemple plus petit à la main
Pour P(5, 2), listez directement les choix: 5 options pour la première position, puis 4 options restantes pour la seconde, donnant 5 × 4 = 20.
Cela correspond à la formule: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. nPr Calculatrice utilise cette même méthode de multiplication à rebours en interne pour tout n et r, de sorte que les pas imprimés reflètent ce qu’un compte manuel produirait pour de petits cas.
Comparez les permutations aux combinaisons
Les permutations et combinaisons sélectionnent toutes deux r éléments parmi n, mais les permutations multiplient le nombre de combinaisons par r! pour prendre en compte chaque commande des articles choisis. P(n, r) = C(n, r) × r!.
Pour n = 8, r = 3, C(8, 3) = 56 et 3! = 6, et 56 × 6 = 336, correspondant exactement à P(8, 3).
Chaque fois qu’un problème concerne l’ordre, le rang ou la séquence des attributions, les permutations sont le bon compte; lorsque seule l’appartenance au groupe compte, les combinaisons sont correctes à la place.
Éviter cette erreur courante
Utiliser la formule de combinaison pour un problème qui pose réellement des questions d’ordre est l’erreur la plus courante avec les problèmes nPr. Attribuer trois médailles distinctes (or, argent, bronze) à trois des huit coureurs est une attribution ordonnée, il faut donc P(8, 3) = 336, pas C(8, 3) = 56.
La formule incorrecte sous-estime le nombre vrai d’un facteur r!, car elle ne distingue pas quel coureur a obtenu quelle médaille.
Travaillez à travers un exemple de planification
Attribuer 3 créneaux horaires différents à 3 des 7 candidats disponibles pour des entretiens est un problème de nPr, car chaque candidat obtient un créneau distinct et ordonné.
Calculer P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. nPr la calculatrice montre cela comme trois facteurs décroissants commençant à 7, correspondant à la logique de comptage direct: 7 choix pour le premier emplacement, 6 restants pour le deuxième, 5 restants pour le troisième.
Reconnaître un langage sensible à l’ordre dans un problème de mots
Les problèmes de mots nécessitant nPr décrivent généralement l’attribution de titres, de grades ou de créneaux horaires distincts: « première, deuxième et troisième place », « président et vice-président », « créneau du matin et de l’après-midi ». Lorsqu’un problème décrit plutôt le choix d’un groupe non ordonné, comme « un comité de 3 » ou « une équipe de 5 », sans rôles distincts attachés, nCr est la formule correcte à la place.
Déterminer si les objets choisis ont des étiquettes distinctives est la façon la plus rapide de les distinguer.
Questions fréquentes
Quelle est la formule pour nPr?
La formule pour nPr est P(n, r) = n! / (n − r)!, où n est le nombre total d’éléments distincts et r est le nombre choisi et classé dans l’ordre.
Comment calculez-vous P(8, 3)?
Pour calculer P(8, 3), divisez 8! de 5!, ce qui se simplifie en 8 × 7 × 6, soit 336. Les autres facteurs de 5! Annulez complètement les 8! expansion.
Quelle est la différence entre nPr et nCr?
nPr compte les arrangements ordonnés et égale n! / (n − r)!, tandis que nCr compte les sélections non ordonnées et égale n! / (r! × (n − r)!). nPr est toujours r! multiplié par nCr pour les mêmes n et r, puisqu’il compte aussi chaque ordre des objets choisis.
R peut-il être supérieur à n dans nPr?
R ne peut pas être supérieur à n dans nPr sans remplacement, car il n’y a pas assez d’éléments distincts pour remplir plus de n positions ordonnées. nPr Calculatrice renvoie un message hors portée lorsque r dépasse n.
Qu’est-ce que P(n, n)?
P(n, n) est égal à n!, le factoriel complet de n, puisque l’organisation de tous les n éléments dans l’ordre utilise chaque élément sans éléments restants. P(4, 4) = 4! = 24.
Qu’est-ce que P(n, 0)?
P(n, 0) est égal à 1 pour tout n, car il existe exactement une façon d’organiser zéro élément: ne rien faire. Cela correspond à la convention selon laquelle 0! égale 1.
Qu’est-ce que P(7, 3)?
P(7, 3) égale 7! / 4!, ce qui se simplifie à 7 × 6 × 5, ce qui équivaut à 210 arrangements ordonnés de 3 éléments choisis parmi 7.
Pourquoi nPr est-il toujours plus grand que nCr pour les mêmes n et r?
nPr est toujours plus grand que nCr pour les mêmes n et r (lorsque r est supérieur à 1) car nPr compte séparément chaque ordre des éléments choisis, tandis que nCr regroupe tous ces ordres en une seule sélection non ordonnée. Le ratio exact entre eux est r!.
Peut-on calculer nPr sans écrire les factorials complets?
nPr peut être calculé sans écrire les factoriels complets en multipliant uniquement les r plus grands entiers consécutifs décomptant à rebours à partir de n, puisque chaque facteur plus petit s’annule entre le numérateur et le dénominateur dans le rapport n! / (n − r)!.
Résumé
nPr Calculatrice P(n, r) = n! / (n − r)! pour les sélections ordonnées sans répétition, en montrant l’annulation factorielle comme un produit de r entiers consécutifs comptant à rebours à partir de n. Entrez n et r pour obtenir le nombre exact de permutations, et comparez avec nCr lorsque le problème ne se soucie pas de l’ordre des éléments sélectionnés.