nPr Calculadora calcula P(n, r), a contagem de arranjos ordenados de r itens escolhidos entre n itens distintos sem repetição. A fórmula é n! dividido por (n − r)!, e a ferramenta imprime a expansão fatorial ao lado do inteiro final.
Calcular P(n, r) diretamente
Permutações contam arranjos onde a ordem importa, ao contrário das combinações. Escolher um colocado em primeiro, segundo e terceiro lugar entre corredores 8 é um problema P(8, 3), pois atribuir os mesmos três corredores a posições diferentes conta como resultados diferentes. P(8, 3) é igual a 8! / 5!, que simplifica para 8 × 7 × 6, igual a 336.
Expanda a razão fatorial
n! / (n − r)! simplifica para o produto de r inteiros consecutivos contando regressivamente a partir de n, porque todo termo de (n − r)! Downward cancela a partir do N completo! expansão. nPr Calculadora mostra esse cancelamento diretamente: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
Multiplicando os três fatores sobreviventes obtém-se 336 sem a necessidade de calcular nenhum dos fatores fatoriais na totalidade.
Trabalhar um exemplo menor manualmente
Para P(5, 2), liste as escolhas diretamente: 5 opções para a primeira posição, depois 4 opções restantes para a segunda, dando 5 × 4 = 20.
Isso corresponde à fórmula: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. nPr A calculadora usa esse mesmo método de contagem regressiva internamente para qualquer n e r, de modo que os passos impressos espelham o que uma contagem manual produziria para casos pequenos.
Comparar permutações com combinações
Permutações e combinações selecionam r itens de n, mas permutações multiplicam a contagem de combinações por r! para contabilizar cada pedido dos itens escolhidos. P(n, r) = C(n, r) × r!.
Para n = 8, r = 3, C(8, 3) = 56 e 3! = 6, e 56 × 6 = 336, correspondendo exatamente a P(8, 3).
Sempre que um problema se importa com ordem de atribuição, posto ou sequência, as permutações são a contagem correta; quando apenas a pertença ao grupo importa, as combinações estão corretas.
Evitar este erro comum
Usar a fórmula de combinação para um problema que realmente questiona a ordem é o erro mais comum em problemas nPr. Atribuir três medalhas distintas (ouro, prata, bronze) a três dos oito corredores é uma tarefa ordenada, então precisa de P(8, 3) = 336, não C(8, 3) = 56.
A fórmula errada subestima a contagem verdadeira por um fator de r!, pois não distingue qual corredor ganhou qual medalha.
Trabalhar um exemplo de agendamento
Atribuir diferentes horários a 3 de 7 candidatos disponíveis para entrevistas é um problema nPr, já que cada candidato recebe um horário distinto e ordenado.
Calcule P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. nPr Calculadora mostra isso como três fatores descendentes começando em 7, correspondendo à lógica de contagem direta: 7 escolhas para o primeiro espaço, 6 restantes para o segundo, 5 restantes para o terceiro.
Reconhecer linguagem sensível à ordem em um problema de palavras
Problemas de palavras que precisam de nPr normalmente descrevem a atribuição de títulos, cargos ou horários distintos: "primeiro, segundo e terceiro lugar", "presidente e vice-presidente", "horário da manhã e horário da tarde." Quando um problema, em vez disso, descreve a escolha de um grupo não ordenado, como "um comitê de 3" ou "uma equipe de 5", sem papéis distintos atribuídos, nCr é a fórmula correta.
Ler se os itens escolhidos têm rótulos distinguíveis é a maneira mais rápida de diferenciá-los.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para nPr?
A fórmula para nPr é P(n, r) = n! / (n − r)!, onde n é o número total de itens distintos e r é o número escolhido e organizado em ordem.
Como você calcula P(8, 3)?
Para calcular P(8, 3), divida 8! por 5!, que simplifica para 8 × 7 × 6, igual a 336. Os fatores restantes de 5! cancele completamente o 8 completo! expansão.
Qual é a diferença entre nPr e nCr?
nPr conta arranjos ordenados e é igual a n! / (n − r)!, enquanto nCr conta seleções não ordenadas e é igual a n! / (r! × (n − r)!). nPr é sempre r! vezes maior que nCr para o mesmo n e r, já que também conta toda ordem dos itens escolhidos.
R pode ser maior que n em nPr?
R não pode ser maior que n em nPr sem substituição, pois não há itens distintos suficientes para preencher mais de n posições ordenadas. nPr A calculadora retorna uma mensagem fora de alcance quando são exceto por n.
O que é P(n, n)?
P(n, n) é igual a n!, o fatorial completo de n, já que organizar todos os n itens em ordem usa todos os itens sem itens sobrantes. P(4, 4) = 4! = 24.
O que é P(n, 0)?
P(n, 0) é igual a 1 para qualquer n, porque existe exatamente uma maneira de organizar zero itens: não fazer nada. Isso corresponde à convenção de que 0! é igual a 1.
O que é P(7, 3)?
P(7, 3) é igual a 7! / 4!, que simplifica para 7 × 6 × 5, igual a 210 arranjos ordenados de 3 escolhidos de 7.
Por que nPr é sempre maior que nCr para o mesmo n e r?
nPr é sempre maior que nCr para o mesmo n e r (quando r é maior que 1) porque nPr conta separadamente toda ordem dos itens escolhidos, enquanto nCr agrupa todas essas ordenações em uma única seleção não ordenada. A proporção exata entre eles é r!.
nPr pode ser calculado sem escrever os fatoriais completos?
nPr pode ser calculado sem escrever os fatoriais completos multiplicando apenas os r maiores inteiros consecutivos contando regressivamente a partir de n, já que todo fator menor cancela entre o numerador e o denominador na razão n! / (n − r)!.
Resumo
nPr Calculadora calcula P(n, r) = n! / (n − r)! para seleções ordenadas sem repetição, mostrando o cancelamento fatorial como um produto de r inteiros consecutivos contando regressivamente a partir de n. Insira n e r para obter a contagem exata de permutações e compare com nCr quando o problema não se importa com a ordem dos itens selecionados.