La Calculadora nPr calcula P(n, r), el conteo de ordenaciones ordenadas de r elementos elegidos entre n elementos distintos sin repetición. La fórmula es n! dividido entre (n − r)!, y la herramienta imprime la expansión factorial junto al entero final.
Calcular P(n, r) directamente
Las permutaciones cuentan ordenaciones donde el orden importa, a diferencia de las combinaciones. Elegir un primero, segundo y tercero entre 8 corredores es un problema P(8, 3), ya que asignar los mismos tres corredores a puestos distintos cuenta como resultados distintos. P(8, 3) es 8! / 5!, que se simplifica a 8 × 7 × 6, igual a 336.
Expandir el cociente factorial
n! / (n − r)! se simplifica al producto de r enteros consecutivos contando hacia abajo desde n, porque todo término desde (n − r)! hacia abajo se cancela de la expansión completa de n!. La Calculadora nPr muestra esta cancelación directamente: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
Multiplicar los tres factores que sobreviven da 336 sin necesidad de calcular ninguno de los factoriales por completo.
Recorrer un ejemplo más pequeño a mano
Para P(5, 2), lista las elecciones directamente: 5 opciones para la primera posición, luego 4 opciones restantes para la segunda, dando 5 × 4 = 20.
Esto coincide con la fórmula: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. La Calculadora nPr usa este mismo método de multiplicación en cuenta atrás de forma interna para cualquier n y r, así que los pasos impresos reflejan lo que un conteo a mano produciría en casos pequeños.
Comparar permutaciones con combinaciones
Las permutaciones y las combinaciones ambas seleccionan r elementos entre n, pero las permutaciones multiplican el conteo de combinaciones por r! para contabilizar cada ordenación de los elementos elegidos. P(n, r) = C(n, r) × r!.
Para n = 8, r = 3, C(8, 3) = 56 y 3! = 6, y 56 × 6 = 336, coincidiendo exactamente con P(8, 3).
Siempre que un problema se preocupa por el orden de asignación, el rango o la secuencia, las permutaciones son el conteo correcto; cuando solo importa la pertenencia al grupo, las combinaciones son las correctas en su lugar.
Evitar este error habitual
Usar la fórmula de combinaciones para un problema que en realidad pregunta por el orden es el error más habitual con problemas nPr. Asignar tres medallas distintas (oro, plata, bronce) a tres de ocho corredores es una asignación ordenada, así que necesita P(8, 3) = 336, no C(8, 3) = 56.
La fórmula incorrecta infravalora el conteo verdadero por un factor de r!, ya que no distingue qué corredor recibió qué medalla.
Recorrer un ejemplo de programación
Asignar 3 franjas horarias distintas a 3 de 7 candidatos disponibles a un empleo para entrevistas es un problema nPr, ya que cada candidato obtiene una franja distinta y ordenada.
Calcula P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. La Calculadora nPr lo muestra como tres factores descendentes empezando en 7, coincidiendo con la lógica de conteo directo: 7 elecciones para la primera franja, 6 restantes para la segunda, 5 restantes para la tercera.
Reconocer lenguaje sensible al orden en un problema verbal
Los problemas verbales que necesitan nPr suelen describir la asignación de títulos, rangos o franjas horarias distintas: "primero, segundo y tercer puesto," "presidente y vicepresidente," "franja de mañana y franja de tarde." Cuando un problema en cambio describe elegir un grupo no ordenado, como "un comité de 3" o "un equipo de 5," sin roles distintos unidos, nCr es la fórmula correcta en su lugar.
Leer si los elementos elegidos reciben etiquetas distinguibles es la forma más rápida de distinguir ambos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de nPr?
La fórmula de nPr es P(n, r) = n! / (n − r)!, donde n es el número total de elementos distintos y r es el número elegido y ordenado.
¿Cómo se calcula P(8, 3)?
Para calcular P(8, 3), divide 8! entre 5!, que se simplifica a 8 × 7 × 6, igual a 336. Los factores restantes de 5! se cancelan por completo de la expansión completa de 8!.
¿Cuál es la diferencia entre nPr y nCr?
nPr cuenta ordenaciones ordenadas y es n! / (n − r)!, mientras que nCr cuenta selecciones no ordenadas y es n! / (r! × (n − r)!). nPr es siempre r! veces mayor que nCr para el mismo n y r, ya que también cuenta cada ordenación de los elementos elegidos.
¿Puede r ser mayor que n en nPr?
R no puede ser mayor que n en nPr sin reemplazo, ya que no hay suficientes elementos distintos para llenar más de n posiciones ordenadas. La Calculadora nPr devuelve un mensaje fuera de rango cuando r supera n.
¿Cuánto es P(n, n)?
P(n, n) es n!, el factorial completo de n, ya que ordenar los n elementos usa todos sin dejar ninguno. P(4, 4) = 4! = 24.
¿Cuánto es P(n, 0)?
P(n, 0) es 1 para cualquier n, porque hay exactamente una forma de ordenar cero elementos: no hacer nada. Esto coincide con la convención de que 0! es 1.
¿Cuánto es P(7, 3)?
P(7, 3) es 7! / 4!, que se simplifica a 7 × 6 × 5, igual a 210 ordenaciones ordenadas de 3 elementos elegidos entre 7.
¿Por qué nPr es siempre mayor que nCr para el mismo n y r?
nPr es siempre mayor que nCr para el mismo n y r (cuando r es mayor que 1) porque nPr cuenta por separado cada ordenación de los elementos elegidos, mientras que nCr agrupa todas esas ordenaciones en una sola selección no ordenada. La razón exacta entre ellos es r!.
¿Se puede calcular nPr sin escribir los factoriales completos?
nPr se puede calcular sin escribir los factoriales completos multiplicando solo los r enteros consecutivos mayores contando hacia abajo desde n, ya que todo factor menor se cancela entre el numerador y el denominador en el cociente n! / (n − r)!.
Resumen
La Calculadora nPr calcula P(n, r) = n! / (n − r)! para selecciones ordenadas sin repetición, mostrando la cancelación factorial como un producto de r enteros consecutivos contando hacia abajo desde n. Introduce n y r para obtener el conteo exacto de permutaciones, y compara con nCr cuando el problema no se preocupa por el orden de los elementos seleccionados.