La Calculadora de permutaciones calcula P(n, r), el número de arreglos ordenados de r objetos elegidos de n objetos distintos, sin reutilizar ningún objeto. La fórmula n! / (n − r)! se reduce a un producto corto de enteros consecutivos, que la herramienta muestra expandido.
El orden importa en una permutación
Una permutación cuenta un arreglo, así que elegir los mismos objetos en una secuencia distinta produce un resultado distinto. Seleccionar un presidente, un vicepresidente y un tesorero de 9 miembros de un comité es un problema de permutación, pues las mismas tres personas ordenadas en roles distintos cuentan como resultados distintos. Introduce n = 9, r = 3 para calcular P(9, 3).
Calcula P(9, 3) paso a paso
P(9, 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. Todo factor desde 6 hacia abajo aparece tanto en el numerador como en el denominador, así que se cancela, dejando 9 × 8 × 7, que es igual a 504.
La Calculadora de permutaciones escribe esta cancelación de forma explícita, mostrando por qué solo sobreviven los r factores superiores de n! en lugar de exigir calcular el factorial completo y luego dividir.
Lee el atajo de multiplicación descendente
Una forma equivalente de calcular una permutación sin notación factorial es multiplicar n por cada entero por debajo de él, r veces en total. Para P(9, 3): empieza en 9, multiplica por 8 (uno menos), luego por 7 (otra vez uno menos), y para tras 3 factores.
Este atajo coincide con la lógica de conteo directo: 9 opciones para el primer rol, 8 opciones restantes para el segundo, 7 restantes para el tercero.
Maneja los casos límite
P(n, 0) siempre es igual a 1, pues hay exactamente una forma de ordenar cero ítems: no hacer nada. P(n, n) siempre es igual a n!, pues se coloca cada ítem y no sobra ninguno.
La Calculadora de permutaciones devuelve un error fuera de rango cuando r supera n, porque no hay suficientes objetos distintos para llenar más de n posiciones ordenadas sin permitir repeticiones.
Evita este error habitual
Confundir una permutación con una combinación subestima el número verdadero de resultados cuando el problema sí se ocupa del orden. Elegir 3 personas para servir juntas en un comité, sin roles distintos, es una combinación, C(9, 3) = 84.
Asignar 3 roles distintos a 3 de esas mismas personas es una permutación, P(9, 3) = 504, seis veces mayor porque cada grupo de 3 se puede ordenar en roles de 3! = 6 formas distintas.
Resuelve un segundo ejemplo
Considera clasificar a los 4 primeros de 10 corredores en una carrera, donde el 1.º, 2.º, 3.º y 4.º puesto son todos resultados distintos. Esto es P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040.
La Calculadora de permutaciones dispone cada uno de los cuatro factores descendentes para que la cadena de multiplicación de 10 a 7 sea visible antes de que aparezca el producto final. Observa que se multiplican r = 4 factores, coincidiendo con las cuatro posiciones clasificadas que se llenan.
Conecta las permutaciones con problemas reales de secuenciación
Las permutaciones aparecen siempre que un número fijo de ranuras distintas debe recibir cada una un ítem diferente de un conjunto mayor: asignar el orden de bateo a jugadores elegidos de una plantilla, programar un subconjunto de tareas en franjas horarias ordenadas, o emitir números de serie donde cada posición de dígito debe ser única.
La prueba recurrente es si intercambiar dos ítems elegidos en ranuras distintas cambia el resultado. Si lo hace, el conteo necesita P(n, r); si intercambiar las ranuras no importa, el problema en cambio necesita C(n, r).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de una permutación?
La fórmula de una permutación es P(n, r) = n! / (n − r)!, donde n es el número total de ítems distintos disponibles y r es el número ordenado.
¿Cómo se calcula P(9, 3)?
Para calcular P(9, 3), divide 9! entre 6!, lo que se cancela a 9 × 8 × 7, igual a 504.
¿Qué significa que el orden importe en una permutación?
Que el orden importe en una permutación significa que ordenar el mismo conjunto de ítems elegidos de forma distinta produce un resultado distinto y contado por separado. Asignar "Alex primero, Sam segundo" es distinto de "Sam primero, Alex segundo," aunque se hayan elegido las mismas dos personas.
¿Qué es P(n, n)?
P(n, n) es igual exactamente a n!, porque ordenar los n ítems disponibles usa todos ellos sin excluir ninguno. P(5, 5) = 5! = 120.
¿Puede r ser mayor que n en una permutación?
R no puede ser mayor que n en una permutación sin repetición, pues no hay suficientes ítems distintos para ocupar más de n posiciones. La Calculadora de permutaciones marca este caso como fuera de rango en lugar de devolver cero.
¿En qué se diferencia una permutación de una combinación?
Una permutación cuenta arreglos ordenados y es siempre r! veces mayor que la combinación correspondiente, que cuenta las mismas selecciones sin tener en cuenta el orden. Usa una permutación siempre que se asignen roles, rangos o posiciones distintos a los ítems elegidos.
¿Qué es P(10, 4)?
P(10, 4) es igual a 10! / 6!, que se simplifica a 10 × 9 × 8 × 7, igual a 5,040 arreglos ordenados de 4 ítems elegidos de 10.
¿Importa el orden de introducir n y r en la calculadora?
Sí, n debe ser siempre el tamaño total del conjunto y r el número de posiciones llenadas; introducirlos en el orden incorrecto cambia la ecuación que se resuelve y, salvo que n sea igual a r, produce un resultado distinto e incorrecto.
¿Por qué un problema de permutación suele mencionar roles o rangos distintos?
Un problema de permutación suele mencionar roles o rangos distintos porque ese lenguaje es exactamente lo que señala que el orden importa; sin un rasgo distintivo como un rol, rango o etiqueta de posición unido a cada selección, el problema tiene más probabilidad de pedir una combinación.
Resumen
La Calculadora de permutaciones calcula P(n, r) = n! / (n − r)! para selecciones ordenadas de r ítems distintos de n disponibles, expandiendo el cociente factorial en un producto corto de r enteros consecutivos.
Introduce n y r para obtener el conteo exacto, y recuerda que asignar roles o rangos distintos a los ítems elegidos es la señal de que una permutación, no una combinación, es la fórmula correcta.