Kalkulator permutacji oblicza P(n, r), liczbę uporządkowanych układów r obiektów wybranych spośród n różnych obiektów, bez ponownego wykorzystania żadnego obiektu. Formuła n! / (n - r)! redukuje się do krótkiego iloczynu kolejnych liczb całkowitych, który narzędzie pokazuje po rozwinięciu.
Porządek ma znaczenie w permutacji
Permutacja liczy układ, więc wybranie tych samych obiektów w innej kolejności daje wyraźny wynik. Wybór przewodniczącego, wiceprzewodniczącego i skarbnika spośród członków komitetu 9 jest problemem permutacyjnym, ponieważ te same trzy osoby przydzielone do różnych ról liczą się jako różne wyniki. Wprowadź n = 9, r = 3, aby obliczyć P(9, 3).
Oblicz P(9, 3) krok po kroku
P(9, 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. Każdy czynnik od 6 w dół pojawia się zarówno w liczniku, jak i mianowniku, więc się znosi, pozostawiając 9 × 8 × 7, co równa się 504.
Kalkulator permutacji zapisuje to anulowanie wyraźnie, pokazując, dlaczego tylko górne współczynniki r n! przetrwać, zamiast wymagać obliczenia i podzielenia pełnej silni.
Przeczytaj skrót odliczania i mnożenia
Równoważnym sposobem obliczenia permutacji bez zapisu silni jest pomnożenie n przez każdą liczbę całkowitą pod nią, r razy sumę. Dla P(9, 3): zacznij od 9, pomnóż przez 8 (o jeden mniej), następnie przez 7 (znowu o jeden mniej) i zatrzymaj po współczynnikach 3.
Skrót ten odpowiada logice liczenia bezpośredniego: 9 wybory dla pierwszej roli, 8 pozostałe wybory dla drugiej roli, 7 pozostałe wybory dla trzeciej.
Zajmij się przypadkami Edge
P(n, 0) zawsze równa się 1, ponieważ istnieje dokładnie jeden sposób uporządkowania pozycji zerowych: nicnierobienie. P(n, n) zawsze równa się n!, ponieważ każdy element zostaje umieszczony i żaden nie pozostaje.
Kalkulator permutacji zwraca błąd poza zakresem, gdy r przekracza n, ponieważ nie ma wystarczającej liczby odrębnych obiektów, aby wypełnić więcej niż n uporządkowanych pozycji bez dopuszczania powtórzeń.
Unikaj tego częstego błędu
Mylenie permutacji z kombinacją zaniża prawdziwą liczbę wyników, ilekroć problem faktycznie dotyczy porządku. Wybór 3 osób do wspólnego zasiadania w komisji, bez odrębnych ról, jest kombinacją C(9, 3) = 84.
Przypisanie 3 odrębnych ról 3 tych samych osób jest permutacją, P(9, 3) = 504, sześciokrotnie większą, ponieważ każdą grupę 3 można przypisać do ról w 3! = 6 różne sposoby.
Przeanalizuj drugi przykład
Rozważ ranking najlepszych zawodników, którzy ukończyli 4 spośród biegaczy 10 w wyścigu, w którym 1., 2., 3. i 4. miejsce to różne wyniki. To jest P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040.
Kalkulator permutacji określa każdy z czterech malejących czynników, więc łańcuch mnożenia od 10 do 7 jest widoczny przed pojawieniem się iloczynu końcowego. Zauważ, że współczynniki r = 4 są mnożone, dopasowując się do czterech zajmowanych pozycji.
Połącz permutacje z rzeczywistymi problemami sekwencjonowania
Permutacje pojawiają się, gdy do każdego ustalonej liczby odrębnych miejsc należy przypisać inny przedmiot z większej puli: przypisywanie kolejności odbijania graczom wybranym z listy, planowanie podzbioru zadań w uporządkowanych przedziałach czasowych lub wydawanie numerów seryjnych, w których każda pozycja cyfry musi być unikalna.
Powtarzającym się testem jest to, czy zamiana dwóch wybranych przedmiotów w różne miejsca zmienia wynik. Jeśli tak, liczba wymaga P(n, r); jeśli zamiana gniazd nie robi różnicy, problem wymaga C(n, r).
Często zadawane pytania
Jaki jest wzór na permutację?
Wzór na permutację to P(n, r) = n! / (n - r)!, gdzie n to całkowita liczba dostępnych odrębnych pozycji, a r to liczba uporządkowana w kolejności.
Jak obliczyć P(9, 3)?
Aby obliczyć P(9, 3), podziel 9! przez 6!, co anuluje do 9 × 8 × 7, równe 504.
Co to znaczy, że w permutacji liczy się porządek?
Kolejność ma znaczenie w permutacji oznacza, że odmienne ustawienie tego samego zestawu wybranych elementów daje odrębny, oddzielnie liczony wynik. Przypisanie „najpierw Alex, potem Sam” różni się od „najpierw Sam, potem Alex”, mimo że wybrano te same dwie osoby.
Co to jest P(n, n)?
P(n, n) równa się n! dokładnie, ponieważ rozmieszczenie wszystkich n dostępnych elementów wykorzystuje każdy z nich, bez wykluczenia żadnych elementów. P(5, 5) = 5! = 120.
Czy r może być większe niż n w permutacji?
R nie może być większe niż n w permutacji bez powtórzeń, ponieważ nie ma wystarczającej liczby odrębnych elementów, aby zająć więcej niż n pozycji. Kalkulator permutacji oznacza ten przypadek jako spoza zakresu, zamiast zwracać zero.
Czym różni się permutacja od kombinacji?
Permutacja liczy uporządkowane układy i zawsze wynosi r! razy większe niż odpowiednia kombinacja, która liczy te same selekcje bez względu na kolejność. Użyj permutacji, ilekroć do wybranych elementów przypisane są różne role, stopnie lub pozycje.
Co to jest P(10, 4)?
P(10, 4) równa się 10! / 6!, co upraszcza do 10 × 9 × 8 × 7, równe 5,040 uporządkowane układy 4 elementów wybranych spośród 10.
Czy kolejność wpisywania n i r ma znaczenie w kalkulatorze?
Tak, n musi zawsze być całkowitą wielkością puli, a r liczbą obsadzonych pozycji; wprowadzenie ich w niewłaściwej kolejności powoduje zmianę rozwiązywanego równania i, jeśli n nie jest równe r, daje inny i błędny wynik.
Dlaczego problem permutacji często wspomina o odrębnych rolach lub rangach?
Problem permutacji często wspomina o odrębnych rolach lub rangach, ponieważ właśnie ten język sygnalizuje znaczenie kolejności; bez wyróżniającej cechy, takiej jak rola, ranga lub etykieta stanowiska, dołączonej do każdego wyboru, problem polega na tym, że zamiast tego wymagana jest kombinacja.
Podsumowanie
Kalkulator permutacji oblicza P(n, r) = n! / (n - r)! dla uporządkowanego wyboru r różnych elementów spośród n dostępnych, rozszerzanie współczynnika silni na krótki iloczyn r kolejnych liczb całkowitych.
Wpisz n i r, aby uzyskać dokładną liczbę, i pamiętaj, że przypisanie odrębnych ról lub rang wybranym elementom jest sygnałem, że poprawną formułą jest permutacja, a nie kombinacja.