Kalkulator Permutasi menghitung P(n, r), jumlah susunan terurut dari r objek yang dipilih dari n objek berbeda, tanpa objek dipakai ulang. Rumus n! / (n − r)! berkurang menjadi hasil kali pendek bilangan bulat berurutan, yang ditampilkan alat dalam bentuk diperluas.
Urutan penting dalam permutasi
Permutasi menghitung suatu susunan, jadi memilih objek yang sama dalam urutan berbeda menghasilkan hasil yang berbeda. Memilih presiden, wakil presiden, dan bendahara dari 9 anggota komite adalah soal permutasi, karena tiga orang yang sama yang disusun ke peran berbeda dihitung sebagai hasil berbeda. Masukkan n = 9, r = 3 untuk menghitung P(9, 3).
Hitung P(9, 3) langkah demi langkah
P(9, 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. Setiap faktor dari 6 ke bawah muncul di pembilang dan penyebut, jadi dibatalkan, menyisakan 9 × 8 × 7, yang sama dengan 504.
Kalkulator Permutasi menulis pembatalan ini secara eksplisit, menunjukkan mengapa hanya r faktor teratas n! yang bertahan alih-alih memerlukan faktorial penuh dihitung lalu dibagi.
Baca pintasan perkalian hitung mundur
Cara setara menghitung permutasi tanpa notasi faktorial adalah mengalikan n dengan setiap bilangan bulat di bawahnya, total r kali. Untuk P(9, 3): mulai di 9, kalikan dengan 8 (satu kurang), lalu dengan 7 (lagi satu kurang), dan berhenti setelah 3 faktor.
Pintasan ini cocok dengan logika hitung langsung: 9 pilihan untuk peran pertama, 8 pilihan tersisa untuk kedua, 7 tersisa untuk ketiga.
Tangani kasus tepi
P(n, 0) selalu sama dengan 1, karena ada tepat satu cara menyusun nol item: tidak melakukan apa pun. P(n, n) selalu sama dengan n!, karena setiap item ditempatkan dan tidak ada yang tersisa.
Kalkulator Permutasi mengembalikan kesalahan di luar rentang ketika r melebihi n, karena tidak ada cukup objek berbeda untuk mengisi lebih dari n posisi terurut tanpa mengizinkan pengulangan.
Hindari kesalahan umum ini
Mencampur permutasi dengan kombinasi menghitung kurang jumlah hasil sebenarnya ketika soal memang peduli urutan. Memilih 3 orang untuk melayani bersama di komite, tanpa peran berbeda, adalah kombinasi, C(9, 3) = 84.
Menugaskan 3 peran berbeda ke 3 dari orang yang sama adalah permutasi, P(9, 3) = 504, enam kali lebih besar karena setiap kelompok 3 dapat disusun ke peran dalam 3! = 6 cara berbeda.
Kerjakan contoh kedua
Pertimbangkan peringkat 4 finisher teratas dari 10 pelari dalam balapan, di mana tempat ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 semuanya hasil berbeda. Ini adalah P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040.
Kalkulator Permutasi menyusun masing-masing dari empat faktor menurun agar rantai perkalian dari 10 turun ke 7 terlihat sebelum hasil kali akhir muncul. Perhatikan bahwa r = 4 faktor dikalikan, cocok dengan empat posisi berperingkat yang diisi.
Hubungkan permutasi ke soal pengurutan nyata
Permutasi muncul setiap kali sejumlah tetap slot berbeda harus masing-masing menerima item berbeda dari himpunan lebih besar: menugaskan urutan batting ke pemain yang dipilih dari roster, menjadwalkan subset tugas di slot waktu terurut, atau menerbitkan nomor seri di mana setiap posisi digit harus unik.
Uji berulang adalah apakah menukar dua item yang dipilih di slot berbeda mengubah hasil. Jika ya, hitungan membutuhkan P(n, r); jika menukar slot tidak penting, soal sebaliknya membutuhkan C(n, r).
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus permutasi?
Rumus permutasi adalah P(n, r) = n! / (n − r)!, di mana n adalah jumlah total item berbeda yang tersedia dan r adalah jumlah terurut.
Bagaimana cara menghitung P(9, 3)?
Untuk menghitung P(9, 3), bagi 9! dengan 6!, yang dibatalkan menjadi 9 × 8 × 7, sama dengan 504.
Apa artinya urutan penting dalam permutasi?
Bahwa urutan penting dalam permutasi berarti menyusun himpunan item yang dipilih sama dengan cara berbeda menghasilkan hasil berbeda yang dihitung terpisah. Menugaskan "Alex pertama, Sam kedua" berbeda dari "Sam pertama, Alex kedua," meskipun dua orang yang sama dipilih.
Apa itu P(n, n)?
P(n, n) sama tepat dengan n!, karena menyusun n item yang tersedia memakai semuanya tanpa mengecualikan satu pun. P(5, 5) = 5! = 120.
Bisakah r lebih besar dari n dalam permutasi?
R tidak dapat lebih besar dari n dalam permutasi tanpa pengulangan, karena tidak ada cukup item berbeda untuk menempati lebih dari n posisi. Kalkulator Permutasi menandai kasus ini sebagai di luar rentang alih-alih mengembalikan nol.
Apa perbedaan permutasi dari kombinasi?
Permutasi menghitung susunan terurut dan selalu r! kali lebih besar dari kombinasi yang bersesuaian, yang menghitung pilihan yang sama tanpa memperhatikan urutan. Gunakan permutasi setiap kali peran, peringkat, atau posisi berbeda ditugaskan ke item yang dipilih.
Apa itu P(10, 4)?
P(10, 4) sama dengan 10! / 6!, yang disederhanakan menjadi 10 × 9 × 8 × 7, sama dengan 5,040 susunan terurut dari 4 item yang dipilih dari 10.
Apakah urutan memasukkan n dan r penting di kalkulator?
Ya, n harus selalu ukuran total himpunan dan r jumlah posisi yang diisi; memasukkannya dalam urutan salah mengubah persamaan yang diselesaikan dan, kecuali n sama dengan r, menghasilkan hasil berbeda dan salah.
Mengapa soal permutasi sering menyebut peran atau peringkat berbeda?
Soal permutasi sering menyebut peran atau peringkat berbeda karena bahasa itu tepat yang menandai bahwa urutan penting; tanpa ciri pembeda seperti peran, peringkat, atau label posisi yang terikat ke setiap pilihan, soal lebih mungkin meminta kombinasi.
Ringkasan
Kalkulator Permutasi menghitung P(n, r) = n! / (n − r)! untuk pilihan terurut r item berbeda dari n yang tersedia, memperluas hasil bagi faktorial menjadi hasil kali pendek r bilangan bulat berurutan.
Masukkan n dan r untuk mendapat hitungan tepat, dan ingat bahwa menugaskan peran atau peringkat berbeda ke item yang dipilih adalah tanda bahwa permutasi, bukan kombinasi, adalah rumus yang benar.