Kalkulator permutasi menghitung P(n, r) untuk sembarang n dan r yang sah, menyenaraikan hasil langsung untuk kasus kecil dan menampilkan pengembangan faktorial penuh untuk yang lebih besar. Rumus dasar, n! / (n − r)!, menghitung susunan berurutan r item yang dipilih dari n tanpa pengulangan.
Hitung permutasi untuk masukan kecil dan besar
Untuk n dan r kecil, kalkulator permutasi dapat menyenaraikan logika di balik hitungan langsung: menyusun 4 buku di rak 2 pada satu waktu memberi P(4, 2) = 4 × 3 = 12, karena ada 4 pilihan untuk spot pertama dan 3 pilihan tersisa untuk kedua.
Untuk masukan lebih besar, seperti P(20, 5), penyenaraian langsung tidak praktis, jadi alat bergantung pada rasio faktorial: 20! / 15!, yang terbatal menjadi 20 × 19 × 18 × 17 × 16, sama dengan 1,860,480.
Kembangkan rasio faktorial untuk sembarang ukuran
Rasio faktorial n! / (n − r)! selalu menyusut menjadi hasil kali r faktor terbesar dalam n!, karena segala sesuatu dari (n − r)! ke bawah terbatal antara pembilang dan penyebut.
Ini berarti kalkulator permutasi tidak pernah perlu menghitung faktorial penuh untuk n besar; ia hanya mengalikan r suku bersama, yang menjaga aritmetika dapat dikelola meski n mencapai ratusan.
Lacak bagaimana permutasi tumbuh dengan r
Menjaga n tetap dan meningkatkan r memperbesar bilangan permutasi dengan cepat, karena setiap posisi tambahan mengalikan satu faktor yang menyusut lagi. P(10, 1) = 10, P(10, 2) = 90, P(10, 3) = 720, dan P(10, 4) = 5,040. Laju pertumbuhan melambat ketika r mendekati n, karena faktor tersisa yang tersedia untuk dikalikan menyusut menuju 1.
Gunakan permutasi untuk pengurutan dan penjadwalan
Permutasi menjawab pertanyaan yang difrase sekitar barisan, kedudukan, atau jadwal. Menyusun 6 lagu ke dalam urutan daftar putar 6 lagu adalah P(6, 6) = 6! = 720 total urutan. Menjadwalkan 3 dari 8 slot waktu tersedia untuk 3 pertemuan berbeda, di mana pertemuan mana menduduki slot mana penting, adalah P(8, 3) = 336.
Mengenali bahasa pengurutan dalam soal cerita adalah sinyal untuk memakai permutasi alih-alih kombinasi.
Hindari kesalahan umum ini
Menerapkan rumus permutasi pada masalah yang sebenarnya tidak membedakan urutan melebihkan bilangan hasil sebenarnya. Jika 3 anggota tim dipilih untuk menghadiri konferensi bersama, tanpa perbedaan siapa menghadiri dalam "urutan" apa, hitungan yang benar adalah kombinasi, C(8, 3) = 56, bukan P(8, 3) = 336.
Hitungan permutasi tepat 3! = 6 kali terlalu besar dalam kasus ini, karena memperlakukan setiap penyusunan ulang 3 orang sama sebagai hasil terpisah ketika masalah tidak.
Kerjakan contoh tugas kode
Memberikan 3 kode akses berbeda kepada 3 dari 12 pekerja, di mana setiap pekerja menerima kode khusus yang berbeda, adalah P(12, 3) = 12 × 11 × 10 = 1,320.
Kalkulator permutasi meletakkan tiga faktor menurun mulai pada 12, mencerminkan argumen hitung langsung: 12 pilihan untuk kode pertama, 11 tersisa untuk kedua, 10 tersisa untuk ketiga, karena setiap kode pergi ke pekerja berbeda dan tidak ada yang berulang.
Pahami peran syarat "tanpa pengulangan"
Setiap permutasi yang dihitung oleh rumus ini mengasumsikan setiap dari n item dapat dipakai paling banyak sekali lintas r posisi, itulah sebab faktor perkalian menghitung turun alih-alih tetap konstan.
Masalah yang sebaliknya mengizinkan item sama mengisi lebih dari satu posisi, seperti kode PIN di mana digit dapat berulang, membutuhkan rumus dengan-pengulangan terpisah n^r alih-alih n! / (n − r)!, karena kolam pilihan tersisa tidak lagi menyusut dengan setiap pilih.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara menghitung permutasi untuk bilangan besar?
Untuk menghitung permutasi untuk bilangan besar, kembangkan n! / (n − r)! dengan membatalkan ekor faktorial yang dibagi, menyisakan hanya hasil kali r faktor terbesar n. P(20, 5) menyusut menjadi 20 × 19 × 18 × 17 × 16 alih-alih memerlukan 20! penuh dihitung.
Apa itu P(4, 2)?
P(4, 2) sama dengan 12, karena ada 4 pilihan untuk posisi pertama dan 3 pilihan tersisa untuk kedua: 4 × 3 = 12.
Mengapa permutasi tumbuh lebih cepat dari kombinasi?
Permutasi tumbuh lebih cepat dari kombinasi karena mereka menghitung setiap urutan item yang dipilih secara terpisah, sementara kombinasi membagi hitungan itu dengan r! untuk memperlakukan semua urutan sebagai satu hasil. Jarak antara keduanya melebar ketika r tumbuh, karena r! tumbuh dengan cepat.
Apa r terbesar dalam permutasi?
R terbesar dalam permutasi tanpa pengulangan adalah n sendiri, memberi P(n, n) = n!. Sembarang r yang melebihi n tidak punya susunan sah, karena tidak cukup item berbeda untuk mengisi setiap posisi.
Apakah permutasi dipakai dalam masalah penjadwalan?
Permutasi dipakai dalam masalah penjadwalan ketika pemberian item khusus kepada slot waktu atau kedudukan khusus penting, seperti memberikan 3 pertemuan berbeda kepada 3 dari 8 ruang tersedia dengan cara yang melacak pertemuan mana pergi ke mana.
Berapa banyak susunan untuk 6 lagu berbeda dalam daftar putar?
Ada 720 susunan untuk 6 lagu berbeda dalam daftar putar, karena P(6, 6) = 6! = 720, memakai setiap lagu tepat sekali dalam urutan khusus.
Apa itu P(12, 3)?
P(12, 3) sama dengan 12 × 11 × 10, yaitu 1,320, menghitung tugas berurutan 3 item berbeda di antara 12 pilihan tersedia tanpa yang berulang.
Apakah permutasi mengizinkan item sama dipilih lebih dari sekali?
Permutasi biasa, dihitung sebagai n! / (n − r)!, tidak mengizinkan item sama dipilih lebih dari sekali; masalah yang mengizinkan pengulangan membutuhkan rumus dengan-pengulangan terpisah n^r sebaliknya.
Ringkasan
Kalkulator permutasi menghitung P(n, r) = n! / (n − r)! untuk sembarang n dan r yang sah, mengurangi rasio faktorial menjadi hasil kali r suku agar permutasi besar tetap dapat dihitung.
Gunakan ketika masalah melacak urutan, kedudukan, atau tugas khusus item yang dipilih, dan harapkan tumbuh lebih cepat dari hitungan kombinasi yang cocok dengan faktor r!.