Kalkulator Permutasi mengira P(n, r) untuk sebarang n dan r sah, menyenaraikan hasil terus untuk kes kecil dan menunjukkan pengembangan faktorial penuh untuk yang lebih besar. Formula asas, n! / (n − r)!, mengira susunan bertertib bagi r item dipilih daripada n tanpa pengulangan.
Kira permutasi untuk input kecil dan besar
Untuk n dan r kecil, Kalkulator Permutasi boleh menyenaraikan logik di belakang kiraan terus: menyusun 4 buku di rak 2 pada satu masa memberi P(4, 2) = 4 × 3 = 12, kerana ada 4 pilihan untuk spot pertama dan 3 pilihan tinggal untuk kedua.
Untuk input lebih besar, seperti P(20, 5), penyenaraian terus tidak praktikal, jadi alat bergantung pada nisbah faktorial: 20! / 15!, yang terbatal kepada 20 × 19 × 18 × 17 × 16, sama dengan 1,860,480.
Kembangkan nisbah faktorial untuk sebarang saiz
Nisbah faktorial n! / (n − r)! sentiasa berkurang kepada hasil darab r faktor terbesar dalam n!, kerana segala-galanya dari (n − r)! ke bawah terbatal antara pengangka dan penyebut.
Ini bermaksud Kalkulator Permutasi tidak pernah perlu mengira faktorial penuh untuk n besar; ia hanya mendarab r suku bersama, yang mengekalkan aritmetik terurus walaupun n mencapai ratusan.
Jejaki bagaimana permutasi tumbuh dengan r
Menahan n tetap dan meningkatkan r menumbuhkan kiraan permutasi dengan cepat, kerana setiap kedudukan tambahan mendarab dalam satu lagi faktor mengecut. P(10, 1) = 10, P(10, 2) = 90, P(10, 3) = 720, dan P(10, 4) = 5,040. Kadar pertumbuhan melambat sebaik r menghampiri n, kerana faktor tinggal tersedia untuk didarab mengecut ke arah 1.
Gunakan permutasi untuk penjujukan dan penjadualan
Permutasi menjawab soalan difrasakan di sekitar jujukan, kedudukan atau jadual. Menyusun 6 lagu ke dalam tertib senarai main 6 lagu ialah P(6, 6) = 6! = 720 jumlah tertib. Menjadualkan 3 daripada 8 slot masa tersedia untuk 3 mesyuarat berbeza, di mana mesyuarat mana menduduki slot mana penting, ialah P(8, 3) = 336.
Mengenali bahasa penjujukan dalam masalah perkataan ialah isyarat untuk mencapai permutasi dan bukannya gabungan.
Elakkan kesilapan biasa ini
Menerapkan formula permutasi kepada masalah yang sebenarnya tidak membezakan tertib melebihkan bilangan hasil sebenar. Jika 3 ahli pasukan dipilih untuk menghadiri sidang bersama, tanpa perbezaan antara siapa menghadiri dalam "tertib" apa, kiraan yang betul ialah gabungan, C(8, 3) = 56, bukan P(8, 3) = 336.
Kiraan permutasi tepat 3! = 6 kali terlalu besar dalam kes ini, kerana ia merawat setiap penyusunan semula 3 orang sama sebagai hasil berasingan apabila masalah tidak.
Kerja melalui contoh tugasan kod
Memberikan 3 kod akses berbeza kepada 3 daripada 12 pekerja, di mana setiap pekerja menerima kod khusus berbeza, ialah P(12, 3) = 12 × 11 × 10 = 1,320.
Kalkulator Permutasi menyusun tiga faktor menurun bermula pada 12, mencerminkan argumen kiraan terus: 12 pilihan untuk kod pertama, 11 tinggal untuk kedua, 10 tinggal untuk ketiga, kerana setiap kod pergi kepada pekerja berbeza dan tiada ulangan.
Faham peranan syarat "tanpa pengulangan"
Setiap permutasi dikira oleh formula ini mengandaikan setiap daripada n item boleh digunakan paling banyak sekali merentas r kedudukan, itulah sebabnya faktor mendarab mengira turun dan bukannya kekal malar.
Masalah yang sebaliknya membenarkan item sama mengisi lebih daripada satu kedudukan, seperti kod PIN di mana digit boleh berulang, memerlukan formula dengan-penggantian berasingan n^r dan bukannya n! / (n − r)!, kerana kolam pilihan tinggal tidak lagi mengecut dengan setiap pilihan.
Soalan lazim
Bagaimanakah anda mengira permutasi untuk nombor besar?
Untuk mengira permutasi untuk nombor besar, kembangkan n! / (n − r)! dengan membatalkan ekor faktorial dikongsi, meninggalkan hanya hasil darab r faktor terbesar n. P(20, 5) berkurang kepada 20 × 19 × 18 × 17 × 16 dan bukannya memerlukan 20! penuh dikira.
Apakah P(4, 2)?
P(4, 2) sama dengan 12, kerana ada 4 pilihan untuk kedudukan pertama dan 3 pilihan tinggal untuk kedua: 4 × 3 = 12.
Mengapakah permutasi tumbuh lebih cepat daripada gabungan?
Permutasi tumbuh lebih cepat daripada gabungan kerana mereka mengira setiap tertib item dipilih secara berasingan, manakala gabungan membahagi kiraan itu dengan r! untuk merawat semua tertib sebagai satu hasil. Jurang antara keduanya melebar apabila r tumbuh, kerana r! tumbuh dengan cepat.
Apakah r terbesar dalam permutasi?
R terbesar dalam permutasi tanpa pengulangan ialah n sendiri, memberi P(n, n) = n!. Sebarang r melepasi n tiada susunan sah, kerana tidak cukup item berbeza untuk mengisi setiap kedudukan.
Adakah permutasi digunakan dalam masalah penjadualan?
Permutasi digunakan dalam masalah penjadualan apabila tugasan item khusus kepada slot masa atau kedudukan khusus penting, seperti memberikan 3 mesyuarat berbeza kepada 3 daripada 8 bilik tersedia dengan cara yang menjejaki mesyuarat mana pergi ke mana.
Berapa banyak susunan untuk 6 lagu berbeza dalam senarai main?
Terdapat 720 susunan untuk 6 lagu berbeza dalam senarai main, kerana P(6, 6) = 6! = 720, menggunakan setiap lagu tepat sekali dalam tertib khusus.
Apakah P(12, 3)?
P(12, 3) sama dengan 12 × 11 × 10, iaitu 1,320, mengira tugasan bertertib 3 item berbeza di kalangan 12 pilihan tersedia tanpa ulangan.
Adakah permutasi membenarkan item sama dipilih lebih daripada sekali?
Permutasi biasa, dikira sebagai n! / (n − r)!, tidak membenarkan item sama dipilih lebih daripada sekali; masalah yang membenarkan ulangan memerlukan formula dengan-penggantian berasingan n^r sebaliknya.
Ringkasan
Kalkulator Permutasi mengira P(n, r) = n! / (n − r)! untuk sebarang n dan r sah, mengurangkan nisbah faktorial kepada hasil darab r suku supaya permutasi besar kekal boleh dikira.
Gunakannya apabila masalah menjejaki tertib, kedudukan atau tugasan khusus item dipilih, dan jangka ia tumbuh lebih cepat daripada kiraan gabungan sepadan dengan faktor r!.