A Calculadora de Permutação calcula P(n, r), o número de arranjos ordenados de r objetos escolhidos entre n objetos distintos, sem que nenhum objeto seja reutilizado. A fórmula n! / (n − r)! reduz-se a um produto curto de inteiros consecutivos, que a ferramenta mostra expandido.
A ordem importa em uma permutação
Uma permutação conta um arranjo, então escolher os mesmos objetos em uma sequência diferente produz um resultado distinto. Selecionar um presidente, vice-presidente e tesoureiro entre os membros do comitê 9 é um problema de permutação, já que as mesmas três pessoas dispostas em funções diferentes contam como resultados diferentes. Insira n = 9, r = 3 para calcular P(9, 3).
Calcular P(9, 3) passo a passo
P(9, 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. Todo fator de 6 para baixo aparece tanto no numerador quanto no denominador, então ele se cancela, deixando 9 × 8 × 7, que é igual a 504.
A Calculadora de Permutação escreve esse cancelamento explicitamente, mostrando por que apenas os principais fatores r de n! sobrevivem em vez de exigir que o fatorial completo seja calculado e depois dividido.
Leia o atalho de contagem regressiva
Uma forma equivalente de calcular uma permutação sem notação fatorial é multiplicar n por cada inteiro abaixo dela, r vezes o total. Para P(9, 3): comece em 9, multiplique por 8 (um a menos), depois por 7 (um a menos novamente), e pare após 3 fatores.
Esse atalho corresponde à lógica de contagem direta: 9 escolhas para o primeiro papel, 8 escolhas restantes para o segundo, 7 escolhas restantes para o terceiro.
Lidar com os casos extremos
P(n, 0) sempre é igual a 1, já que há exatamente uma maneira de organizar zero itens: não fazer nada. P(n, n) sempre é igual a n!, já que todo item é colocado e nenhum sobra.
O Calculador de Permutação retorna um erro fora de alcance sempre que r excede n, porque não há objetos distintos suficientes para preencher mais de n posições ordenadas sem permitir repetições.
Evitar este erro comum
Confundir uma permutação com uma combinação subestima o número real de resultados sempre que o problema realmente se importa com a ordem. Escolher 3 pessoas para servir juntas em um comitê, sem papéis distintos, é uma combinação, C(9, 3) = 84.
Atribuir papéis distintos a 3 dessas mesmas pessoas é uma permutação, P(9, 3) = 504, seis vezes maior porque cada grupo de 3 pode ser organizado em papéis em 3! = 6 maneiras diferentes.
Trabalhar com um segundo exemplo
Considere classificar os melhores classificados de 4 entre os corredores de 10 em uma corrida, onde o 1º, 2º, 3º e 4º lugar são resultados distintos. Este é P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040.
O Calculador de Permutação apresenta cada um dos quatro fatores descendentes para que a cadeia de multiplicação de 10 até 7 seja visível antes do produto final aparecer. Note que r = 4 fatores são multiplicados, correspondendo às quatro posições classificadas que estão sendo preenchidas.
Conecte permutações a problemas reais de sequenciamento
Permutações aparecem sempre que um número fixo de vagas distintas deve receber um item diferente de um grupo maior: atribuindo a ordem de rebatidas aos jogadores escolhidos de um elenco, escalando um subconjunto de tarefas em horários ordenados ou emitindo números de série onde cada posição de dígito deve ser única.
O teste recorrente é se trocar dois itens escolhidos em espaços diferentes muda o resultado. Se isso acontecer, a contagem precisa de P(n, r); se trocar os slots não faz diferença, o problema precisa de C(n, r).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para uma permutação?
A fórmula para uma permutação é P(n, r) = n! / (n − r)!, onde n é o número total de itens distintos disponíveis e r é o número organizado em ordem.
Como você calcula P(9, 3)?
Para calcular P(9, 3), divida 9! por 6!, que cancela para 9 × 8 × 7, igual a 504.
O que significa quando a ordem importa em uma permutação?
Ordem importando em uma permutação significa que arranjar o mesmo conjunto de itens escolhidos de forma diferente produz um resultado distinto, contado separadamente. Atribuir "Alex primeiro, Sam segundo" é diferente de "Sam primeiro, Alex segundo", mesmo que as mesmas duas pessoas tenham sido escolhidas.
O que é P(n, n)?
P(n, n) é igual a n! Exatamente, porque organizar todos os N itens disponíveis usa todos eles, sem excluir nenhum item. P(5, 5) = 5! = 120.
R pode ser maior que n em uma permutação?
R não pode ser maior que n em uma permutação sem repetição, pois não há itens distintos suficientes para ocupar mais de n posições. O Calculador de Permutação sinaliza esse caso como fora do alcance em vez de devolver zero.
Como uma permutação é diferente de uma combinação?
Uma permutação conta arranjos ordenados e é sempre r! vezes maior que a combinação correspondente, que conta as mesmas seleções sem se importar com a ordem. Use uma permutação sempre que papéis, ranks ou posições distintas forem atribuídos aos itens escolhidos.
O que é P(10, 4)?
P(10, 4) é igual a 10! / 6!, que simplifica para 10 × 9 × 8 × 7, igual a 5,040 arranjos ordenados de 4 escolhidos de 10.
A ordem de digitação n e r importa na calculadora?
Sim, n deve sempre ser o tamanho total do grupo e são o número de vagas preenchidas; inseri-los na ordem errada altera a equação a ser resolvida e, a menos que n seja igual a r, produz um resultado diferente e incorreto.
Por que um problema de permutação frequentemente menciona papéis ou patentes distintas?
Um problema de permutação frequentemente menciona papéis ou patentes distintas porque essa linguagem é exatamente o que importa a ordem dos sinais; Sem uma característica distintiva como um rótulo de função, patente ou posição a cada seleção, o problema provavelmente é pedir uma combinação.
Resumo
A Calculadora de Permutação calcula P(n, r) = n! / (n − r)! para seleções ordenadas de r itens distintos de n disponíveis, expandindo a razão fatorial para um produto curto de r inteiros consecutivos.
Insira n e r para obter a contagem exata, e lembre-se de que atribuir papéis ou classificações distintas aos itens escolhidos é o sinal de que uma permutação, e não uma combinação, é a fórmula correta.