Der Permutationsrechner berechnet P(n, r), die Anzahl der geordneten Anordnungen von r Objekten, die aus n verschiedenen Objekten ausgewählt werden, ohne dass ein Objekt wiederverwendet wird. Die Formel n! / (n − r)! reduziert sich auf ein kurzes Produkt aufeinanderfolgender ganzer Zahlen, die das Werkzeug erweitert zeigt.
Ordnung spielt bei einer Permutation eine Rolle
Eine Permutation zählt eine Anordnung, sodass die Wahl derselben Objekte in einer anderen Sequenz ein unterschiedliches Ergebnis erzeugt. Die Auswahl eines Präsidenten, Vizepräsidenten und Schatzmeisters aus neun Ausschussmitgliedern ist ein Permutationsproblem, da die gleichen drei Personen in unterschiedlichen Rollen als unterschiedliche Ergebnisse gelten. Geben Sie n = 9, r = 3 ein, um P(9, 3) zu berechnen.
Berechnen Sie P(9, 3) Schritt für Schritt
P(9, 3) = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!. Jeder Faktor von 6 abwärts erscheint sowohl im Zähler als auch im Nenner, sodass er aufhebt, sodass 9 × 8 × 7 übrig bleibt, was 504 ergibt.
Der Permutationsrechner schreibt diese Auslöschung explizit auf und zeigt, warum nur die oberen r Faktoren von n! überleben, anstatt zu verlangen, dass die gesamte Fakultät berechnet und dann geteilt wird.
Lies die Countdown-Multiplikations-Kurzbelegung
Eine äquivalente Methode, eine Permutation ohne Fakultätsnotation zu berechnen, besteht darin, n mit jeder darunter liegenden ganzen Zahl r mit der Gesamtzahl zu multiplizieren. Für P(9, 3): Fang bei 9 an, multipliziere mit 8 (einer weniger), dann mit 7 (wieder einer weniger) und höre nach 3 Faktoren auf.
Diese Abkürzung entspricht der direkten Zähllogik: 9 Optionen für die erste Rolle, 8 verbleibende Optionen für die zweite, 7 verbleibende Optionen für die dritte.
Behandle die Randfälle
P(n, 0) ist immer gleich 1, da es genau eine Möglichkeit gibt, null Elemente zu ordnen: nichts zu tun. P(n, n) ist immer gleich n!, da jeder Gegenstand platziert wird und keiner übrig bleibt.
Der Permutationsrechner liefert einen Fehler außerhalb des Bereichs zurück, wann immer r n überschreitet, da nicht genügend verschiedene Objekte vorhanden sind, um mehr als n geordnete Positionen zu füllen, ohne Wiederholungen zu ermöglichen.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Eine Verwechslung einer Permutation mit einer Kombination unterschätzt die tatsächliche Anzahl der Ergebnisse, wann immer das Problem tatsächlich die Ordnung interessiert. Die Auswahl von drei Personen, die gemeinsam in einem Ausschuss arbeiten, ohne klare Rollen, ist eine Kombination C(9, 3) = 84.
Drei dieser gleichen Personen drei verschiedene Rollen zuzuweisen, ist eine Permutation, P(9, 3) = 504, also sechsmal größer, weil jede Gruppe von 3 in Rollen in 3 eingeteilt werden kann! = 6 verschiedene Arten.
Arbeiten Sie sich ein zweites Beispiel durch
Überlegen Sie, die Top 4 von 10 Läufern in einem Rennen zu rangieren, bei denen die 1., 2., 3. und 4. Plätze jeweils unterschiedliche Ergebnisse sind. Das ist P(10, 4) = 10! / 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040.
Der Permutationsrechner legt jeden der vier absteigenden Faktoren dar, sodass die Multiplikationskette von 10 bis 7 sichtbar ist, bevor das Endprodukt erscheint. Beachten Sie, dass r = 4 Faktoren multipliziert werden, sodass die vier besetzten Ranglisten übereinstimmen.
Verbinden Sie Permutationen mit realen Sequenzierungsproblemen
Permutationen treten immer auf, wenn eine feste Anzahl unterschiedlicher Plätze jeweils einen anderen Eintrag aus einem größeren Pool erhalten muss: Schlagreihenfolge für Spieler aus einem Kader zuzuweisen, eine Teilmenge von Aufgaben in geordnete Zeitslots einzuteilen oder Seriennummern zu vergeben, bei denen jede Ziffernposition einzigartig sein muss.
Der wiederkehrende Test ist, ob das Tauschen zweier ausgewählter Gegenstände in verschiedene Slots das Ergebnis verändert. Wenn ja, benötigt die Zählung P(n, r); wenn das Tauschen der Slots keinen Unterschied macht, benötigt das Problem stattdessen C(n, r).
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel für eine Permutation?
Die Formel für eine Permutation ist P(n, r) = n! / (n − r)!, wobei n die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente ist und r die Zahl, die in der Reihenfolge geordnet ist.
Wie berechnet man P(9, 3)?
Um P(9, 3) zu berechnen, teile 9! um 6!, was auf 9 × 8 × 7 aufhebt, gleich 504.
Was bedeutet es, wenn Ordnung in einer Permutation eine Rolle spielt?
Ordnungsbedeutung in einer Permutation bedeutet, dass die unterschiedliche Anordnung derselben ausgewählten Elemente ein eigenständiges, separat gezähltes Ergebnis erzeugt. "Alex zuerst, Sam zweit" zuzuweisen, ist etwas anderes als "Sam zuerst, Alex zunächst", obwohl dieselben zwei Personen ausgewählt wurden.
Was ist P(n, n)?
P(n, n) gleich n! Genau, weil das Anordnen aller n verfügbaren Gegenstände jeden einzelnen davon verwendet, ohne dass Gegenstände ausgeschlossen sind. P(5, 5) = 5! = 120.
Kann r in einer Permutation größer als n sein?
R kann in einer Permutation ohne Wiederholung nicht größer als n sein, da es nicht genügend verschiedene Objekte gibt, um mehr als n Positionen einzunehmen. Der Permutationsrechner markiert diesen Fall als außerhalb des Reichweitenbereichs, anstatt Null zurückzugeben.
Wie unterscheidet sich eine Permutation von einer Kombination?
Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen und ist immer r! mal größer als die entsprechende Kombination, die dieselben Auswahlen ohne Rücksicht auf die Reihenfolge zählt. Verwenden Sie eine Permutation, wann immer den gewählten Gegenständen unterschiedliche Rollen, Ränge oder Positionen zugewiesen sind.
Was ist P(10, 4)?
P(10, 4) ergibt 10! / 6!, was zu 10 vereinfacht wird × 9 × 8 × 7, was 5.040 geordnete Anordnungen von 4 Elementen aus 10 entspricht.
Spielt die Reihenfolge der Eingabe von n und r im Taschenrechner eine Rolle?
Ja, n muss immer die Gesamtpoolgröße sein und die Anzahl der besetzten Positionen darstellen; die Eingabe in der falschen Reihenfolge ändert die zu lösende Gleichung und erzeugt, sofern n nicht gleich r, ein anderes und falsches Ergebnis.
Warum erwähnt ein Permutationsproblem oft unterschiedliche Rollen oder Ränge?
Ein Permutationsproblem erwähnt oft unterschiedliche Rollen oder Ränge, weil genau diese Sprache das ist, was Signalreihenfolge zählt; Ohne ein Unterscheidungsmerkmal wie eine Rolle, einen Rang oder eine Positionsbezeichnung, die jeder Auswahl zugeordnet ist, verlangt das Problem eher nach einer Kombination.
Zusammenfassung
Der Permutationsrechner berechnet P(n, r) = n! / (n − r)! Für geordnete Selektionen von r verschiedenen Elementen aus n verfügbaren Elementen wird das Fakultätsverhältnis zu einem kurzen Produkt von r aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen erweitert.
Geben Sie n und r ein, um die exakte Anzahl zu erhalten, und denken Sie daran, dass die Zuweisung unterschiedlicher Rollen oder Ränge der gewählten Elemente das Signal ist, dass eine Permutation und keine Kombination die richtige Formel ist.