nPr Der Rechner berechnet P(n, r), die Anzahl der geordneten Anordnungen von r Elementen, die aus n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung ausgewählt werden. Die Formel ist n! geteilt durch (n − r)!, und das Werkzeug druckt die Fakultätsentwicklung neben der endgültigen ganzen Zahl.
Berechnen Sie P(n, r) direkt
Permutationen zählen Anordnungen, bei denen die Ordnung eine Rolle spielt, im Gegensatz zu Kombinationen. Die Auswahl eines Erst-, Zweit- und Drittplatzierten aus 8 Läufern ist ein P(8, 3)-Problem, da die Zuweisung derselben drei Läufer zu unterschiedlichen Platzierungen als unterschiedliche Ergebnisse gilt. P(8, 3) ist gleich 8! / 5!, was sich zu 8 vereinfacht × 7 × 6, gleich 336.
Erweitern Sie das Fakultätsverhältnis
n! / (n − r)! vereinfacht sich zum Produkt von r aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, die von n herunterzählen, weil jeder Term aus (n − r)! Downward hebt das volle N auf! Erweiterung. nPr Der Rechner zeigt diese Auslöschung direkt an: P(8, 3) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8 × 7 × 6.
Multipliziert man die drei überlebenden Faktoren, erhält man 336, ohne dass einer der Faktorialfaktoren vollständig berechnet werden muss.
Arbeiten Sie ein kleineres Beispiel von Hand durch
Für P(5, 2) listen Sie die Optionen direkt auf: 5 Optionen für die erste Position, dann 4 verbleibende Optionen für die zweite, was 5 × 4 = 20 ergibt.
Das entspricht der Formel: 5! / 3! = 120 / 6 = 20. nPr Der Rechner verwendet dieselbe Countdown-Multiplikationsmethode intern für beliebige n und r, sodass die gedruckten Schritte das widerspiegeln, was eine Handzählung für kleine Fälle ergeben würde.
Vergleiche von Permutationen mit Kombinationen
Permutationen und Kombinationen wählen beide r Elemente aus n, aber Permutationen multiplizieren die Kombinationszahl mit r! um jede Reihenfolge der ausgewählten Artikel zu berücksichtigen. P(n, r) = C(n, r) × r!.
Für n = 8, r = 3, C(8, 3) = 56 und 3! = 6, und 56 × 6 = 336, was genau P(8, 3) entspricht.
Immer wenn ein Problem auf Zuweisungsreihenfolge, Rang oder Sequenz achtet, sind Permutationen die korrekte Zählung; wenn nur die Gruppenzugehörigkeit zählt, sind stattdessen die Kombinationen korrekt.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Die Verwendung der Kombinationsformel für ein Problem, das tatsächlich nach der Ordnung fragt, ist der häufigste Fehler bei nPr-Problemen. Die Vergabe von drei verschiedenen Medaillen (Gold, Silber, Bronze) an drei von acht Läufern ist eine geordnete Zuordnung, daher braucht sie P(8, 3) = 336, nicht C(8, 3) = 56.
Die falsche Formel unterschätzt die tatsächliche Zählung um den Faktor r!, da sie nicht unterscheidet, welcher Läufer welche Medaille erhalten hat.
Arbeiten Sie sich ein Planungsbeispiel durch
3 verschiedene Zeitfenster für 3 von 7 verfügbaren Bewerbern für Vorstellungsgespräche zuzuweisen, ist ein nPr-Problem, da jeder Bewerber einen eigenen, geordneten Slot bekommt.
Berechnen Sie P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 = 210. Der nPr Calculator zeigt dies als drei absteigende Faktoren an, beginnend bei 7, entsprechend der Logik des direkten Zählens: 7 Optionen für den ersten Slot, 6 bleiben für den zweiten, 5 bleiben für den dritten.
Erkenne ordnungssensitive Sprache in einer Textaufgabe
Textaufgaben, die nPr erfordern, beschreiben typischerweise die Vergabe unterschiedlicher Titel, Ränge oder Zeitfenster: "erster, zweiter und dritter Platz", "Präsident und Vizepräsident", "Morgen- und Nachmittagssende". Wenn ein Problem stattdessen die Wahl einer ungeordneten Gruppe beschreibt, wie zum Beispiel "ein Komitee von 3" oder "ein Team von 5" ohne eindeutige Rollen, ist nCr die korrekte Formel.
Zu prüfen, ob die ausgewählten Gegenstände unterscheidbare Etiketten erhalten, ist der schnellste Weg, die beiden zu unterscheiden.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel für nPr?
Die Formel für nPr ist P(n, r) = n! / (n − r)!, wobei n die Gesamtzahl der unterschiedlichen Elemente ist und r die gewählte und geordnete Zahl ist.
Wie berechnet man P(8, 3)?
Um P(8, 3) zu berechnen, teile 8! durch 5!, was sich zu 8 vereinfacht × 7 × 6, gleich 336. Die verbleibenden Faktoren sind 5! Stornieren Sie komplett die vollen 8! Erweiterung.
Was ist der Unterschied zwischen nPr und nCr?
nPr zählt geordnete Anordnungen und gleich n! / (n − r)!, während nCr ungeordnete Auswahlen zählt und gleich n ist! / (r! × (n − r)!). nPr ist immer r! mal größer als nCr für dasselbe n und r, da es auch jede Reihenfolge der gewählten Elemente zählt.
Kann r größer als n in nPr sein?
R kann nicht größer als n in nPr ohne Ersetzung sein, da nicht genügend verschiedene Elemente vorhanden sind, um mehr als n geordnete Positionen zu füllen. nPr Der Rechner gibt eine Nachricht außerhalb des Reichweitenbereichs zurück, wenn die n überschreitet.
Was ist P(n, n)?
P(n, n) ist gleich n!, dem vollständigen Fakultätsfaktor von n, da das Anordnen aller n Elemente in der Reihenfolge jedes Element ohne Elemente verwendet. P(4, 4) = 4! = 24.
Was ist P(n, 0)?
P(n, 0) ist für jedes n gleich 1, weil es genau eine Möglichkeit gibt, null Elemente anzuordnen: nichts tun. Das entspricht der Konvention, dass 0! gleich 1.
Was ist P(7, 3)?
P(7, 3) ist gleich 7! / 4!, was zu 7 vereinfacht wird × 6 × 5, was 210 geordnete Anordnungen von 3 Elementen aus 7 entspricht.
Warum ist nPr immer größer als nCr für dasselbe n und r?
nPr ist immer größer als nCr für dasselbe n und r (wenn r größer als 1 ist), weil nPr jede Reihenfolge der gewählten Elemente separat zählt, während nCr all diese Reihenfolgen zu einer einzigen ungeordneten Auswahl gruppiert. Das genaue Verhältnis zwischen ihnen ist r!.
Kann nPr berechnet werden, ohne die vollständigen Fakultäten zu schreiben?
nPr kann berechnet werden, ohne die vollen Fakultäten auszuschreiben, indem man nur die r größten aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von n herunterzählt, da jeder kleinere Faktor zwischen Zähler und Nenner im Verhältnis n aufhebt! / (n − r)!.
Zusammenfassung
nPr Der Rechner berechnet P(n, r) = n! / (n − r)! für geordnete Selektionen ohne Wiederholung, wobei die fakuläre Aufhebung als Produkt von r aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ab N nach unten gezeigt wird. Geben Sie n und r ein, um die genaue Permutationszahl zu erhalten, und vergleichen Sie mit nCr, wenn das Problem sich nicht für die Reihenfolge der ausgewählten Elemente interessiert.