Kalkulator permutasi dengan pengulangan menghitung susunan berurutan r pemilihan dari n pilihan ketika pengulangan diizinkan pada setiap posisi. Rumusnya adalah n dipangkatkan ke r, karena setiap dari r posisi secara independen punya semua n pilihan tersedia.
Hitung pemilihan berurutan yang mengizinkan pengulangan
Berbeda dengan permutasi biasa, yang mengeluarkan item dari kolam setelah dipilih, permutasi dengan pengulangan mengembalikan setiap item ke kolam setelah setiap pilih. Memilih PIN 4 digit di mana setiap digit berjalan dari 0 hingga 9 dan digit dapat berulang adalah masalah permutasi-dengan-pengulangan: 10 pilihan untuk setiap dari 4 posisi memberi 10^4, sama dengan 10,000 PIN mungkin.
Turunkan rumus dari pilihan bebas
Setiap dari r posisi dalam susunan dengan-pengulangan punya tepat n pilihan, bebas dari apa yang dipilih pada posisi lain mana pun, karena tidak ada yang dikeluarkan dari kolam. Mengalikan n dengan dirinya r kali, sekali untuk setiap posisi bebas, memberi n^r sebagai total hitungan.
Kalkulator permutasi dengan pengulangan menampilkan ini sebagai eksponen tunggal alih-alih rantai faktor menyusut, yang merupakan perbedaan utama dari permutasi biasa.
Kerjakan contoh kata sandi
Kata sandi 3 karakter yang digambar dari 26 huruf besar, dengan pengulangan diizinkan, punya 26^3 nilai mungkin. Hitung 26 × 26 = 676, lalu 676 × 26 = 17,576. Kalkulator permutasi dengan pengulangan melaporkan 17,576 langsung dan menampilkan bentuk eksponen 26^3 di sampingnya, agar hubungan antara rumus dan rantai perkalian tetap terlihat.
Bandingkan dengan permutasi tanpa pengulangan
Permutasi tanpa pengulangan untuk n dan r sama memakai n! / (n − r)!, yang selalu lebih kecil dari atau sama dengan n^r, karena mengeluarkan item yang dipilih dari kolam mengurangi bilangan pilihan pada setiap posisi kemudian.
Untuk n = 5, r = 3: permutasi tanpa pengulangan memberi 5 × 4 × 3 = 60, sementara permutasi dengan pengulangan memberi 5^3 = 125, lebih dari dua kali lipat, karena pengulangan menjaga setiap pilihan tersedia pada setiap dari 3 langkah.
Hindari kesalahan umum ini
Memakai rumus tanpa-pengulangan untuk masalah yang sebenarnya mengizinkan pengulangan merendahkan bilangan hasil sebenarnya. Kunci kombinasi yang mengizinkan digit sama berulang lintas posisinya membutuhkan n^r, bukan n! / (n − r)!.
Baca masalah untuk bahasa seperti "digit dapat berulang" atau "dengan pengulangan" sebagai sinyal untuk memakai rumus eksponen alih-alih rasio faktorial.
Kerjakan contoh plat nomor
Format plat nomor memakai 3 huruf diikuti tidak ada lagi, digambar dari 26 huruf dengan pengulangan diizinkan pada setiap posisi, punya 26^3 nilai mungkin. Hitung 26 × 26 = 676, lalu 676 × 26 = 17,576, struktur sama seperti contoh kata sandi di atas tetapi diterapkan pada konteks pelabelan berbeda.
Kalkulator permutasi dengan pengulangan menangani pasangan n dan r mana pun dengan cara ini, karena matematika dasar tidak pernah berubah: hanya bilangan posisi bebas dan ukuran kolam pada setiap posisi yang penting.
Kenali bahasa dengan-pengulangan dalam soal cerita
Frasa tertentu dengan pasti menandai masalah dengan-pengulangan: "setiap digit dapat dipakai lebih dari sekali," "pemilihan dibuat dengan pengulangan," "huruf dapat berulang," atau pengaturan dunia nyata seperti gulungan dadu, lemparan koin, atau pemutar di mana hasil sama dapat berulang secara alami pada percobaan kemudian.
Ketika sinyal ini tidak muncul dan masalah sebaliknya menggambarkan memilih orang, objek, atau item yang "habis dipakai," periksa apakah permutasi biasa atau kombinasi lebih cocok.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus untuk permutasi dengan pengulangan?
Rumus untuk permutasi dengan pengulangan adalah n^r, di mana n adalah bilangan pilihan tersedia dan r adalah bilangan posisi berurutan yang diisi, dengan pengulangan diizinkan pada setiap posisi.
Berapa banyak PIN 4 digit mungkin jika digit dapat berulang?
Jika digit dapat berulang, PIN 4 digit yang digambar dari 10 digit mungkin (0 hingga 9) punya 10^4 = 10,000 nilai mungkin.
Apa beda permutasi dengan dan tanpa pengulangan?
Permutasi tanpa pengulangan mengeluarkan setiap item yang dipilih dari kolam, memakai n! / (n − r)!, sementara permutasi dengan pengulangan mengembalikan setiap item ke kolam, memakai n^r. Hitungan dengan-pengulangan selalu setidaknya sama besar.
Bisakah r lebih besar dari n dalam permutasi dengan pengulangan?
R dapat lebih besar dari n dalam permutasi dengan pengulangan, karena pengulangan berarti tidak ada batas atas terikat pada ukuran kolam. Kode 5 karakter dari alfabet 3 huruf, dengan pengulangan, punya 3^5 = 243 nilai mungkin.
Berapa banyak kata sandi 3 huruf mungkin dari 26 huruf dengan pengulangan diizinkan?
Dengan pengulangan diizinkan, kata sandi 3 huruf dari 26 huruf punya 26^3 = 17,576 nilai mungkin, dihitung sebagai 26 × 26 × 26.
Apakah menggulung dadu 3 kali masalah permutasi-dengan-pengulangan?
Menggulung dadu 3 kali dan merekam barisan berurutan hasil adalah masalah permutasi-dengan-pengulangan, karena setiap gulungan secara independen punya 6 hasil tanpa mengindahkan gulungan sebelumnya: 6^3 = 216 barisan berurutan mungkin.
Berapa banyak kode plat nomor 3 huruf mungkin dari 26 huruf dengan pengulangan?
Dengan pengulangan diizinkan, kode 3 huruf yang digambar dari 26 huruf punya 26^3 = 17,576 nilai mungkin, perhitungan sama dipakai untuk contoh kata sandi, karena kedua masalah berbagi struktur n = 26, r = 3 yang sama.
Apa yang terjadi jika n atau r dimasukkan sebagai nol?
Jika r dimasukkan sebagai nol, hasil adalah n^0 = 1, karena tepat ada satu cara mengisi nol posisi: tidak melakukan apa pun. Jika n dimasukkan sebagai nol sementara r positif, hasil adalah 0, karena tidak ada pilihan tersedia untuk mengisi posisi mana pun.
Kerjakan contoh lemparan koin
Melempar koin 5 kali dan merekam barisan berurutan kepala dan ekor adalah masalah permutasi-dengan-pengulangan dengan n = 2 dan r = 5: 2^5 = 32 barisan berurutan mungkin, karena setiap lemparan secara independen punya 2 hasil tanpa mengindahkan lemparan sebelumnya.
Ringkasan
Kalkulator permutasi dengan pengulangan menerapkan n^r untuk menghitung susunan berurutan di mana pengulangan diizinkan pada setiap posisi, memperlakukan setiap dari r posisi sebagai pilihan bebas di antara n pilihan. Masukkan n dan r untuk mendapat hitungan tepat, dan harapkan melebihi permutasi tanpa-pengulangan yang cocok ketika pengulangan benar-benar memperluas himpunan hasil sah.