Les permutations avec la calculatrice de remplacement comptent les arrangements ordonnés de r sélections parmi n options lorsque des répétitions sont autorisées à chaque position. La formule est n élevée à la puissance r, puisque chacune des positions r dispose indépendamment de n options disponibles.
Des sélections ordonnées par comptage qui permettent des répétitions
Contrairement aux permutations ordinaires, qui retirent un objet du pool une fois choisi, les permutations avec remplacement renvoient chaque objet au pool après chaque choix. Choisir un code PIN à 4 chiffres où chaque chiffre va de 0 à 9 et où les chiffres peuvent se répéter est un problème de permutations avec remplacement: 10 options pour chacune des 4 positions donnent 10^4, soit 10 000 PIN possibles.
Dériver la formule à partir de choix indépendants
Chacune des r positions dans un arrangement avec remplacement a exactement n choix, indépendamment de ce qui a été choisi à une autre position, car rien n’est retiré du pool. Multiplier n par lui-même r par r, une fois pour chaque position indépendante, donne n^r comme compte total.
Permutations with Replacement Calculator montre cela comme une seule exponentiation plutôt qu’une chaîne de facteurs de rétrécissement, ce qui est la principale différence avec les permutations ordinaires.
Travailler un exemple de mot de passe
Un mot de passe de 3 caractères tiré à partir de 26 lettres majuscules, avec des répétitions autorisées, comporte 26^3 valeurs possibles. Calculons 26 × 26 = 676, puis 676 × 26 = 17 576. Permutations avec la calculatrice de Remplacement rapporte directement 17 576 et affiche la forme d’exposant 26^3 à côté, de sorte que le lien entre la formule et la chaîne de multiplication reste visible.
Comparer avec les permutations sans remplacement
Les permutations sans remplacement pour le même n et r utilisent n! / (n − r)!, qui est toujours inférieur ou égal à n^r, puisque retirer les éléments choisis du pool réduit le nombre d’options à chaque position ultérieure.
Pour n = 5, r = 3: les permutations sans remplacement donnent 5 × 4 × 3 = 60, tandis que les permutations avec remplacement donnent 5^3 = 125, plus du double, car le remplacement conserve toutes les options disponibles à chacune des 3 étapes.
Éviter cette erreur courante
Utiliser la formule sans remplacement pour un problème qui permet réellement des répétitions sous-estime le nombre réel de résultats. Un cadenas à combinaison qui permet au même chiffre de répéter ses positions nécessite n^r, pas n! / (n − r)!.
Lisez le problème pour des formulations comme « les chiffres peuvent se répéter » ou « avec remplacement » comme signal pour utiliser la formule de l’exposant plutôt que le rapport factoriel.
Travailler à partir d’un exemple de plaque d’immatriculation
Un format de plaque d’immatriculation utilisant 3 lettres suivies de rien d’autre, tiré à partir de 26 lettres avec des répétitions autorisées à chaque position, propose 26^3 valeurs possibles. Calculer 26 × 26 = 676, puis 676 × 26 = 17 576, la même structure que l’exemple du mot de passe ci-dessus mais appliquée à un contexte d’étiquetage différent.
Les permutations avec la calculatrice de remplacement gèrent ainsi toute paire n et r, puisque les calculs sous-jacents ne changent jamais: seuls le nombre de positions indépendantes et la taille du pool à chaque position comptent.
Reconnaître le langage avec remplacement dans un problème de mots
Certaines expressions signalent de manière fiable un problème de remplacement: « chaque chiffre peut être utilisé plus d’une fois », « les sélections sont faites avec remplacement », « la lettre peut se répéter », ou une configuration réelle comme un lancer de dé, un lancer ou un lanceur où le même résultat peut naturellement se reproduire lors d’un essai ultérieur.
Lorsque aucun de ces signaux n’apparaît et que le problème désigne plutôt la sélection de personnes, d’objets ou d’objets qui sont « consommés », vérifiez si les permutations ou combinaisons ordinaires conviennent mieux.
Questions fréquentes
Quelle est la formule des permutations avec remplacement?
La formule des permutations avec remplacement est n^r, où n est le nombre d’options disponibles et r est le nombre de positions ordonnées à remplir, avec des répétitions autorisées à chaque position.
Combien de codes PIN à 4 chiffres sont-ils possibles si les chiffres peuvent se répéter?
Si les chiffres peuvent se répéter, un code PIN à 4 chiffres tiré parmi 10 chiffres possibles (de 0 à 9) a 10^4 = 10 000 valeurs possibles.
Quelle est la différence entre les permutations avec et sans remplacement?
Les permutations sans remplacement suppriment chaque objet choisi du pool, en utilisant n! / (n − r)!, tandis que les permutations avec remplacement renvoient chaque élément dans le pool, en utilisant n^r. Le nombre de remplaçants est toujours au moins aussi important.
R peut-il être supérieur à n en permutations avec remplacement?
R peut être supérieur à n en permutations avec remplacement, car les répétitions signifient qu’il n’y a pas de borne supérieure liée à la taille du pool. Un code de 5 caractères issu d’un alphabet de 3 lettres, avec des répétitions, comporte 3^5 = 243 valeurs possibles.
Combien de mots de passe de 3 lettres sont possibles à partir de 26 lettres avec des répétitions autorisées?
Avec des répétitions autorisées, un mot de passe de 3 lettres à partir de 26 lettres contient 26^3 = 17 576 valeurs possibles, calculées comme 26 × 26 × 26.
Lancer un dé 3 fois un problème de permutations avec remplacement?
Lancer un dé 3 fois et enregistrer la séquence ordonnée des résultats est un problème de permutations avec remplacement, puisque chaque lancer indépendamment a 6 résultats indépendamment des lancers précédents: 6^3 = 216 séquences ordonnées possibles.
Combien de codes de plaque d’immatriculation de 3 lettres sont possibles à partir de 26 lettres avec des répétitions?
Avec des répétitions autorisées, un code de 3 lettres tiré à partir de 26 lettres a 26^3 = 17 576 valeurs possibles, le même calcul utilisé pour l’exemple du mot de passe, puisque les deux problèmes partagent la même structure n = 26, r = 3.
Que se passe-t-il si n ou r est inscrit comme zéro?
Si r est entré comme zéro, le résultat est n^0 = 1, puisqu’il n’y a qu’une seule façon de remplir zéro position: ne rien faire. Si n est inscrit comme zéro tandis que r est positif, le résultat est 0, puisqu’il n’y a pas d’options disponibles pour remplir une position.
Travaillez à partir d’un exemple de pile ou face
Lancer une pièce 5 fois et enregistrer la séquence ordonnée de pile et face est un problème de permutations avec remplacement avec n = 2 et r = 5: 2^5 = 32 séquences ordonnées possibles, puisque chaque lancer indépendamment a 2 résultats indépendamment des lancers précédents.
Résumé
Permutations avec la calculatrice de remplacement applique n^r aux arrangements ordonnés de comptage où des répétitions sont autorisées à chaque position, traitant chacune des r positions comme un choix indépendant parmi n options. Entrez n et r pour obtenir le compte exact, et attendez-vous à ce qu’elle dépasse la permutation correspondante sans remplacement chaque fois que les répétitions élargissent réellement l’ensemble des résultats valides.