Permutacje z Kalkulatorem Zastępczym liczą uporządkowane układy r wyborów z n opcji, gdy powtórzenia są dozwolone na każdej pozycji. Wzór wynosi n do potęgi r, ponieważ każda z pozycji r niezależnie ma wszystkie n dostępnych opcji.
Licz wybory w kolejności, które pozwalają na powtórzenia
W przeciwieństwie do zwykłych permutacji, które usuwają element z puli po jego wyborze, permutacje z zamianą zwracają wszystkie elementy do puli po każdym wyborze. Wybór PIN cyfr 4, gdzie każda cyfra biegnie od 0 do 9 i cyfry mogą się powtarzać, to problem permutacji z zamianą: 10 opcje dla każdej z pozycji 4 daje 10^4, równe 10,000 możliwych PIN-ów.
Wyprowadzmy wzór z niezależnych wyborów
Każda z pozycji r w układzie z zamianą ma dokładnie n wyborów, niezależnie od tego, co zostało wybrane na innych pozycjach, ponieważ nic nie jest usuwane z puli. Mnożąc n przez siebie r razy, raz dla każdej niezależnej pozycji, otrzymuje n^r jako całkowitą liczbę.
Permutacje z Kalkulatorem Zastępowania pokazują to jako pojedynczą potęgę, a nie łańcuch czynników kurczących się, co jest kluczową różnicą w stosunku do zwykłych permutacji.
Przejdź przez przykład hasła
Hasło 3 wylosowane z wielkich liter 26, z dozwolonymi powtórzeniami, ma możliwe wartości 26^3. Oblicz 26 × 26 = 676, a następnie 676 × 26 = 17,576. Permutacje z kalkulatorem zastępczym raportują bezpośrednio 17,576 i obok niej wyświetlają postać wykładnika 26^3, dzięki czemu powiązanie między wzorem a łańcuchem mnożenia pozostaje widoczne.
Porównaj z permutacjami bez zastąpienia
Permutacje bez zastąpienia tego samego n i r używają n! / (n − r)!, które zawsze jest mniejsze lub równe n^r, ponieważ usunięcie wybranych elementów z puli zmniejsza liczbę opcji na każdej późniejszej pozycji.
Dla n = 5, r = 3: permutacje bez zastąpienia dają 5 × 4 × 3 = 60, podczas gdy permutacje z zamianą dają 5^3 = 125, ponad dwukrotnie, ponieważ zastąpienie zachowuje wszystkie dostępne opcje na każdym z kroków 3.
Unikaj tego typowego błędu
Zastosowanie wzoru bez zastępowania dla problemu, który faktycznie pozwala na powtórzenia, zaniża liczbę rzeczywistych wyników. Zamek szyfrowy, który pozwala na powtarzanie tej samej cyfry na swoich pozycjach, wymaga n^r, a nie n! / (n − r)!.
Odczytaj problem jako sygnał do użycia wzoru wykładnika zamiast stosunku czynnikowego (factorial ratio).
Przejdź przez przykład tablicy rejestracyjnej
Format tablicy rejestracyjnej z użyciem liter 3 i niczym więcej, wyprowadzony z liter 26 z dozwolonymi powtórzeniami na każdej pozycji, ma możliwe wartości 26^3. Oblicz 26 × 26 = 676, następnie 676 × 26 = 17,576, tę samą strukturę co powyższy przykład z hasłem, ale zastosowaną w innym kontekście etykietowania.
Permutacje z Replacement Calculator obsługują dowolną parę n i r w ten sposób, ponieważ podstawowa matematyka nigdy się nie zmienia: liczy się tylko liczba niezależnych pozycji oraz wielkość puli na każdej pozycji.
Rozpoznaj język z zastępowaniem w zadaniu wyrazowym
Niektóre frazy niezawodnie sygnalizują problem z zamianą monety: "każda cyfra może być użyta więcej niż raz", "wybór jest dokonywany przez zamianę", "litera może się powtarzać" lub rzeczywiste ustawienie, takie jak rzut kością, rzut monetą czy spinner, gdzie ten sam wynik może naturalnie powrócić w późniejszej próbie.
Gdy żaden z tych sygnałów się nie pojawia, a problem dotyczy wyboru osób, przedmiotów lub przedmiotów, które są "zużywane", sprawdź, czy zwykłe permutacje lub kombinacje nie są lepszym wyborem.
Często zadawane pytania
Jaki jest wzór na permutacje z zastąpieniem?
Wzór na permutacje z zamianą to n^r, gdzie n to liczba dostępnych opcji, a r to liczba uporządkowanych pozycji obsadzanych, z możliwością powtórzeń na każdej pozycji.
Ile jest możliwych kodów pinowych o cyfrach 4, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Jeśli cyfry mogą się powtarzać, PIN cyfr 4 wybrany z możliwych cyfr 10 (0 do 9) ma 10^4 = 10,000 możliwych wartości.
Jaka jest różnica między permutacjami z a bez zastępstwa?
Permutacje bez zastąpienia usuwają każdy wybrany element z puli, używając n! / (n − r)!, podczas gdy permutacje z zastępowaniem zwracają każdy element do puli, używając n^r. Liczba elementów z zamianą jest zawsze co najmniej tak duża.
Czy r może być większe niż n w permutacjach z zastąpieniem?
R może być większe niż n w permutacjach z zamianą, ponieważ powtórzenia oznaczają, że nie ma górnej granicy powiązanej z wielkością puli. Kod znakowy 5 z alfabetu literowego 3, z powtórzeniami, ma 3^5 = 243 możliwych wartości.
Ile haseł z literami 26 możliwych jest z listów 26 z dozwolonymi powtórzeniami?
Przy dozwolonych powtórzeniach, hasło z literą 3 z liter 26 ma 26^3 = 17,576 możliwe wartości, obliczane jako 26 × 26 × 26.
Czy rzut kością 3 razy to problem permutacji z zastępowaniem?
Rzut kością 3 razy i zapisywanie uporządkowanej sekwencji wyników to problem permutacji z zamianą, ponieważ każdy rzut niezależnie ma 6 niezależnie od poprzednich rzutów: 6^3 = 216 możliwe sekwencje uporządkowane.
Ile numerów rejestracyjnych z literami 3 można uzyskać z liter 26 z powtarzalnymi numerami?
Przy dozwolonych powtórzeniach, kod literowy 3 narysowany z liter 26 ma 26^3 = 17,576 możliwe wartości, takie samo obliczanie użyte dla przykładu hasła, ponieważ oba problemy mają identyczną strukturę n = 26, r = 3.
Co się stanie, jeśli n lub r zostanie wpisane jako zero?
Jeśli r zostanie wpisane jako zero, wynik to n^0 = 1, ponieważ istnieje dokładnie jeden sposób na wypełnienie pozycji zero: nic nie robienia. Jeśli n zostanie wpisane jako zero, a r jest dodatnie, wynik to 0, ponieważ nie ma opcji obsadzenia żadnego stanowiska.
Przejdź przez przykład rzutu monetą
Rzut monetą 5 razy i zapisywanie uporządkowanej sekwencji orłów i reszki to problem permutacji z zamianą z n = 2 i r = 5: 2^5 = 32 możliwe sekwencje uporządkowane, ponieważ każdy rzut niezależnie od poprzednich rzutów ma wyniki 2.
Podsumowanie
Permutacje z Kalkulatorem Zastępczym stosują n^r do układów uporządkowanych zliczeń, gdzie powtórzenia są dozwolone na każdej pozycji, traktując każdą z pozycji r jako niezależny wybór spośród n opcji. Wpisz n i r, aby uzyskać dokładną liczbę, i oczekuj, że przekroczy ona permutację dopasowania bez zastępowania za każdym razem, gdy powtórzenia rzeczywiście rozszerzają zbiór poprawnych wyników.