Permutationskalkylator med återläggning räknar ordnade arrangemang av r urval från n alternativ när upprepningar är tillåtna i varje position. Formeln är n upphöjt till r, eftersom var och en av de r positionerna oberoende har alla n alternativ tillgängliga.
Räkna ordnade urval som tillåter upprepning
Till skillnad från vanliga permutationer, som tar bort ett föremål ur mängden när det valts, lägger permutationer med återläggning tillbaka varje föremål efter varje dragning. Att välja en 4-siffrig PIN där varje siffra går från 0 till 9 och siffror kan upprepas är ett problem med permutationer med återläggning: 10 alternativ för var och en av 4 positioner ger 10^4, lika med 10 000 möjliga PIN-koder.
Härled formeln från oberoende val
Var och en av de r positionerna i ett arrangemang med återläggning har exakt n val, oberoende av vad som valdes i någon annan position, eftersom inget tas bort ur mängden. Att multiplicera n med sig själv r gånger, en gång för varje oberoende position, ger n^r som totalt antal.
Permutationskalkylator med återläggning visar detta som en enda potens i stället för en kedja av krympande faktorer, vilket är den viktigaste skillnaden mot vanliga permutationer.
Gå igenom ett lösenordsexempel
Ett 3-teckens lösenord taget från 26 versaler, med upprepningar tillåtna, har 26^3 möjliga värden. Beräkna 26 × 26 = 676, sedan 676 × 26 = 17 576. Permutationskalkylator med återläggning rapporterar 17 576 direkt och visar potensformen 26^3 bredvid, så kopplingen mellan formeln och multiplikationskedjan syns.
Jämför med permutationer utan återläggning
Permutationer utan återläggning för samma n och r använder n! / (n − r)!, som alltid är mindre än eller lika med n^r, eftersom borttagna föremål minskar antalet alternativ i varje senare position.
För n = 5, r = 3: permutationer utan återläggning ger 5 × 4 × 3 = 60, medan permutationer med återläggning ger 5^3 = 125, mer än dubbelt, eftersom återläggning håller varje alternativ tillgängligt i var och en av de 3 stegen.
Undvik denna vanliga missuppfattning
Att använda formeln utan återläggning för ett problem som faktiskt tillåter upprepningar underskattar det verkliga antalet utfall. Ett kodlås som tillåter att samma siffra upprepas över sina positioner behöver n^r, inte n! / (n − r)!.
Läs uppgiften efter språk som "siffror får upprepas" eller "med återläggning" som signal att använda potensformeln i stället för kvoten av fakulteter.
Gå igenom ett registreringsskyltsexempel
Ett registreringsskyltsformat med 3 bokstäver och inget mer, taget från 26 bokstäver med upprepningar tillåtna i varje position, har 26^3 möjliga värden. Beräkna 26 × 26 = 676, sedan 676 × 26 = 17 576, samma struktur som lösenordsexemplet ovan men tillämpad på ett annat märkningssammanhang.
Permutationskalkylator med återläggning hanterar vilket n- och r-par som helst på detta sätt, eftersom den underliggande matematiken aldrig ändras: bara antalet oberoende positioner och storleken på mängden i varje position spelar roll.
Känn igen språk för återläggning i textuppgifter
Vissa fraser signalerar pålitligt ett problem med återläggning: "varje siffra får användas mer än en gång," "urvalen görs med återläggning," "bokstaven kan upprepas," eller en verklig uppsättning som en tärning, ett myntkast eller en spinner där samma utfall naturligt kan återkomma i ett senare försök.
När inga av dessa signaler syns och uppgiften i stället beskriver att välja personer, föremål eller saker som "förbrukas," kontrollera om vanliga permutationer eller kombinationer passar bättre.
Vanliga frågor
Vad är formeln för permutationer med återläggning?
Formeln för permutationer med återläggning är n^r, där n är antalet tillgängliga alternativ och r är antalet ordnade positioner som fylls, med upprepningar tillåtna i varje position.
Hur många 4-siffriga PIN-koder är möjliga om siffror får upprepas?
Om siffror får upprepas har en 4-siffrig PIN från 10 möjliga siffror (0 till 9) 10^4 = 10 000 möjliga värden.
Vad är skillnaden mellan permutationer med och utan återläggning?
Permutationer utan återläggning tar bort varje valt föremål ur mängden och använder n! / (n − r)!, medan permutationer med återläggning lägger tillbaka varje föremål och använder n^r. Antalet med återläggning är alltid minst lika stort.
Kan r vara större än n vid permutationer med återläggning?
r kan vara större än n vid permutationer med återläggning, eftersom upprepningar innebär att det inte finns någon övre gräns kopplad till mängdens storlek. En 5-teckens kod från ett 3-bokstavsalfabet, med upprepningar, har 3^5 = 243 möjliga värden.
Hur många 3-bokstavslösenord är möjliga från 26 bokstäver med upprepningar tillåtna?
Med upprepningar tillåtna har ett 3-bokstavslösenord från 26 bokstäver 26^3 = 17 576 möjliga värden, beräknat som 26 × 26 × 26.
Är att kasta en tärning 3 gånger ett problem med permutationer med återläggning?
Att kasta en tärning 3 gånger och registrera den ordnade följden av resultat är ett problem med permutationer med återläggning, eftersom varje kast oberoende har 6 utfall oavsett tidigare kast: 6^3 = 216 möjliga ordnade följder.
Hur många 3-bokstavskoder för registreringsskyltar är möjliga från 26 bokstäver med upprepningar?
Med upprepningar tillåtna har en 3-bokstavskod från 26 bokstäver 26^3 = 17 576 möjliga värden, samma beräkning som lösenordsexemplet, eftersom båda problemen delar den identiska strukturen n = 26, r = 3.
Vad händer om n eller r anges som noll?
Om r anges som noll blir resultatet n^0 = 1, eftersom det finns exakt ett sätt att fylla noll positioner: att inte göra något. Om n anges som noll medan r är positivt blir resultatet 0, eftersom det inte finns några alternativ att fylla någon position med.
Gå igenom ett myntkastsexempel
Att kasta ett mynt 5 gånger och registrera den ordnade följden av krona och klave är ett problem med permutationer med återläggning med n = 2 och r = 5: 2^5 = 32 möjliga ordnade följder, eftersom varje kast oberoende har 2 utfall oavsett tidigare kast.
Sammanfattning
Permutationskalkylator med återläggning tillämpar n^r för att räkna ordnade arrangemang där upprepningar är tillåtna i varje position, och behandlar var och en av de r positionerna som ett oberoende val bland n alternativ. Ange n och r för att få det exakta antalet, och räkna med att det överstiger den matchande permutationen utan återläggning när upprepningar verkligen utökar mängden giltiga utfall.