Permutações com a Calculadora de Substituição contam arranjos ordenados de r seleções de n opções quando repetições são permitidas em cada posição. A fórmula é n elevada à potência r, já que cada uma das posições r independentemente tem todas as n opções disponíveis.
Seleções ordenadas por contagem que permitem repetições
Diferente das permutações comuns, que removem um item do pool uma vez escolhido, as permutações com substituição retornam todos os itens ao pool após cada escolha. Escolher um PIN de 4 dígito onde cada dígito vai de 0 até 9 e os dígitos podem repetir é um problema de permutações com substituição: opções 10 para cada uma das 4 posições geram 10^4, igual a 10,000 possíveis PINs.
Derive a fórmula a partir de escolhas independentes
Cada uma das r posições em um arranjo com substituição tem exatamente n opções, independentemente do que foi escolhido em qualquer outra posição, porque nada é removido do conjunto. Multiplicando n por si mesmo por r vezes, uma vez para cada posição independente, obtém n^r como contagem total.
Permutações com Calculadora de Substituição mostra isso como uma única exponenciação, e não como uma cadeia de fatores decrescentes, que é a principal diferença em relação às permutações comuns.
Trabalhar com um exemplo de senha
Uma senha de 3 caracteres extraída de letras maiúsculas 26, com repetições permitidas, possui valores possíveis 26^3. Calcule 26 × 26 = 676, então 676 × 26 = 17,576. Permutações com a Calculadora de Substituição reporta 17,576 diretamente e mostra a forma do expoente 26^3 junto com ela, de modo que a conexão entre a fórmula e a cadeia de multiplicação permanece visível.
Comparar com permutações sem substituição
Permutações sem substituição para o mesmo n e r usam n! / (n − r)!, que é sempre menor ou igual a n^r, já que remover itens escolhidos do pool reduz o número de opções em cada posição posterior.
Para n = 5, r = 3: permutações sem substituição dão 5 × 4 × 3 = 60, enquanto permutações com substituição dão 5^3 = 125, mais que o dobro, porque substituição mantém todas as opções disponíveis em cada um dos passos 3.
Evitar este erro comum
Usar a fórmula sem substituição para um problema que realmente permite repetições subestima o número real de resultados. Um cadeado de combinação que permite que o mesmo dígito se repita em suas posições precisa de n^r, não de n! / (n − r)!.
Leia o problema para linguagens como "dígitos podem se repetir" ou "com substituição" como o sinal para usar a fórmula do expoente em vez da razão fatorial.
Trabalhar com um exemplo de placa de carro
Um formato de placa usando letras 3 seguidas de nada mais, extraído de letras 26 com repetições permitidas em cada posição, possui valores possíveis 26^3. Calcule 26 × 26 = 676, então 676 × 26 = 17,576, a mesma estrutura do exemplo da senha acima, mas aplicada a um contexto de rotulagem diferente.
Permutações com a Calculadora de Substituição lida com qualquer par n e r dessa forma, já que a matemática subjacente nunca muda: apenas o número de posições independentes e o tamanho do conjunto em cada posição importam.
Reconhecer linguagem com substituição em um problema de texto
Certas frases sinalizam de forma confiável um problema de substituição: "cada dígito pode ser usado mais de uma vez", "seleções são feitas com substituição", "a letra pode se repetir", ou uma configuração do mundo real como um lançamento de dado, cara ou cara ou giro, onde o mesmo resultado pode naturalmente se repetir em um teste posterior.
Quando nenhum desses sinais aparece e o problema descreve a seleção de pessoas, objetos ou itens que são "esgotados", verifique se permutações ou combinações comuns são as mais adequadas.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para permutações com substituição?
A fórmula para permutações com substituição é n^r, onde n é o número de opções disponíveis e r é o número de posições ordenadas sendo preenchidas, com repetições permitidas em cada posição.
Quantos PINs de 4 dígitos são possíveis se os dígitos puderem se repetir?
Se os dígitos puderem se repetir, um PIN de 4 de dígitos extraídos de 10 dígitos possíveis (0 até 9) terá 10^4 = 10,000 valores possíveis.
Qual é a diferença entre permutações com e sem substituição?
Permutações sem substituição removem cada item escolhido do pool, usando n! / (n − r)!, enquanto permutações com substituição retornam todos os itens ao pool, usando n^r. A contagem de substitutos é sempre pelo menos tão grande.
R pode ser maior que n em permutações com substituição?
R pode ser maior que n em permutações com substituição, já que repetições significam que não há limite superior ligado ao tamanho do pool. Um código de 5 de um alfabeto de 3 letras, com repetições, tem 3^5 = 243 valores possíveis.
Quantas senhas de letras 3 são possíveis a partir de letras 26 com repetições permitidas?
Com repetições permitidas, uma senha de 3 de letras 26 tem 26^3 = 17,576 valores possíveis, calculados como 26 × 26 × 26.
Rolar um dado 3 vezes é um problema de permutações com substituição?
Rolar um dado 3 vezes e registrar a sequência ordenada dos resultados é um problema de permutações com substituição, já que cada lançamento independentemente tem resultados 6 independentemente das sequências anteriores: 6^3 = 216 sequências ordenadas possíveis.
Quantos códigos de placa de licença 3 são possíveis a partir de letras 26 com repetições?
Com repetições permitidas, um código de 3 extraído de letras 26 tem 26^3 = 17,576, o mesmo cálculo usado para o exemplo da senha, já que ambos os problemas compartilham a mesma estrutura n = 26, r = 3.
O que acontece se n ou r for digitado como zero?
Se r for inserido como zero, o resultado é n^0 = 1, já que há exatamente uma maneira de preencher zero posições: não fazer nada. Se n for inserido como zero enquanto r for positivo, o resultado é 0, já que não há opções disponíveis para preencher qualquer posição.
Trabalhar com um exemplo de cara ou coroa
Jogar uma moeda 5 vezes e registrar a sequência ordenada de caras e coroas é um problema de permutações com substituição com n = 2 e r = 5: 2^5 = 32 sequências ordenadas possíveis, já que cada lançamento independentemente tem resultados 2 independentemente dos lançamentos anteriores.
Resumo
Permutações com Calculadora de Substituição aplica n^r a arranjos ordenados de contagem onde repetições são permitidas em cada posição, tratando cada uma das posições r como uma escolha independente entre n opções. Insira n e r para obter a contagem exata, e espere que ela supere a permutação correspondente sem substituição sempre que repetições realmente expandam o conjunto de resultados válidos.