La Calculadora de permutaciones con reemplazo cuenta arreglos ordenados de r selecciones de n opciones cuando se permiten repeticiones en cada posición. La fórmula es n elevado a la potencia r, pues cada una de las r posiciones tiene de forma independiente las n opciones disponibles.
Cuenta selecciones ordenadas que permiten repeticiones
A diferencia de las permutaciones ordinarias, que retiran un ítem del conjunto una vez elegido, las permutaciones con reemplazo devuelven cada ítem al conjunto tras cada elección. Elegir un PIN de 4 dígitos donde cada dígito va de 0 a 9 y los dígitos pueden repetirse es un problema de permutaciones con reemplazo: 10 opciones para cada una de 4 posiciones da 10^4, igual a 10,000 PIN posibles.
Deriva la fórmula a partir de elecciones independientes
Cada una de las r posiciones en un arreglo con reemplazo tiene exactamente n opciones, independiente de lo elegido en cualquier otra posición, porque nada se retira del conjunto. Multiplicar n por sí mismo r veces, una por cada posición independiente, da n^r como conteo total.
La Calculadora de permutaciones con reemplazo muestra esto como una sola potenciación en lugar de una cadena de factores que se encogen, que es la diferencia clave frente a las permutaciones ordinarias.
Resuelve un ejemplo de contraseña
Una contraseña de 3 caracteres tomada de 26 letras mayúsculas, con repeticiones permitidas, tiene 26^3 valores posibles. Calcula 26 × 26 = 676, luego 676 × 26 = 17,576. La Calculadora de permutaciones con reemplazo informa 17,576 directamente y muestra la forma exponencial 26^3 junto a ella, para que la conexión entre la fórmula y la cadena de multiplicación quede visible.
Compara con permutaciones sin reemplazo
Las permutaciones sin reemplazo para el mismo n y r usan n! / (n − r)!, que siempre es menor o igual que n^r, pues retirar ítems elegidos del conjunto reduce el número de opciones en cada posición posterior.
Para n = 5, r = 3: las permutaciones sin reemplazo dan 5 × 4 × 3 = 60, mientras que las permutaciones con reemplazo dan 5^3 = 125, más del doble, porque el reemplazo mantiene cada opción disponible en cada uno de los 3 pasos.
Evita este error habitual
Usar la fórmula sin reemplazo para un problema que en realidad permite repeticiones subestima el número verdadero de resultados. Una cerradura de combinación que permite repetir el mismo dígito en sus posiciones necesita n^r, no n! / (n − r)!.
Lee el problema buscando lenguaje como "los dígitos pueden repetirse" o "con reemplazo" como señal para usar la fórmula exponencial en lugar del cociente factorial.
Resuelve un ejemplo de matrícula
Un formato de matrícula que usa 3 letras seguidas de nada más, tomadas de 26 letras con repeticiones permitidas en cada posición, tiene 26^3 valores posibles. Calcula 26 × 26 = 676, luego 676 × 26 = 17,576, la misma estructura que el ejemplo de contraseña de arriba pero aplicada a un contexto de etiquetado distinto.
La Calculadora de permutaciones con reemplazo maneja cualquier par n y r de esta forma, pues la matemática subyacente nunca cambia: solo importan el número de posiciones independientes y el tamaño del conjunto en cada posición.
Reconoce el lenguaje con reemplazo en un problema verbal
Ciertas frases señalan de forma fiable un problema con reemplazo: "cada dígito puede usarse más de una vez," "las selecciones se hacen con reemplazo," "la letra puede repetirse," o un planteamiento del mundo real como tirar un dado, lanzar una moneda o una ruleta donde el mismo resultado puede recurrir de forma natural en un ensayo posterior.
Cuando no aparece ninguna de estas señales y el problema en cambio describe seleccionar personas, objetos o ítems que se "gastan," comprueba si las permutaciones ordinarias o las combinaciones encajan mejor.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de las permutaciones con reemplazo?
La fórmula de las permutaciones con reemplazo es n^r, donde n es el número de opciones disponibles y r es el número de posiciones ordenadas que se llenan, con repeticiones permitidas en cada posición.
¿Cuántos PIN de 4 dígitos son posibles si los dígitos pueden repetirse?
Si los dígitos pueden repetirse, un PIN de 4 dígitos tomado de 10 dígitos posibles (0 a 9) tiene 10^4 = 10,000 valores posibles.
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones con y sin reemplazo?
Las permutaciones sin reemplazo retiran cada ítem elegido del conjunto, usando n! / (n − r)!, mientras que las permutaciones con reemplazo devuelven cada ítem al conjunto, usando n^r. El conteo con reemplazo es siempre al menos tan grande.
¿Puede r ser mayor que n en permutaciones con reemplazo?
R puede ser mayor que n en permutaciones con reemplazo, pues las repeticiones significan que no hay un tope superior ligado al tamaño del conjunto. Un código de 5 caracteres de un alfabeto de 3 letras, con repeticiones, tiene 3^5 = 243 valores posibles.
¿Cuántas contraseñas de 3 letras son posibles de 26 letras con repeticiones permitidas?
Con repeticiones permitidas, una contraseña de 3 letras de 26 letras tiene 26^3 = 17,576 valores posibles, calculados como 26 × 26 × 26.
¿Tirar un dado 3 veces es un problema de permutaciones con reemplazo?
Tirar un dado 3 veces y registrar la secuencia ordenada de resultados es un problema de permutaciones con reemplazo, pues cada tirada tiene de forma independiente 6 resultados sin importar las tiradas anteriores: 6^3 = 216 secuencias ordenadas posibles.
¿Cuántos códigos de matrícula de 3 letras son posibles de 26 letras con repeticiones?
Con repeticiones permitidas, un código de 3 letras tomado de 26 letras tiene 26^3 = 17,576 valores posibles, el mismo cálculo usado para el ejemplo de contraseña, pues ambos problemas comparten la estructura idéntica n = 26, r = 3.
¿Qué pasa si n o r se introducen como cero?
Si r se introduce como cero, el resultado es n^0 = 1, pues hay exactamente una forma de llenar cero posiciones: no hacer nada. Si n se introduce como cero mientras r es positivo, el resultado es 0, pues no hay opciones disponibles para llenar ninguna posición.
Resuelve un ejemplo de lanzamiento de moneda
Lanzar una moneda 5 veces y registrar la secuencia ordenada de caras y cruces es un problema de permutaciones con reemplazo con n = 2 y r = 5: 2^5 = 32 secuencias ordenadas posibles, pues cada lanzamiento tiene de forma independiente 2 resultados sin importar los lanzamientos anteriores.
Resumen
La Calculadora de permutaciones con reemplazo aplica n^r para contar arreglos ordenados donde se permiten repeticiones en cada posición, tratando cada una de las r posiciones como una elección independiente entre n opciones. Introduce n y r para obtener el conteo exacto, y espera que supere la permutación sin reemplazo correspondiente siempre que las repeticiones amplíen de verdad el conjunto de resultados válidos.