Kalkulator Permutasi dengan Penggantian mengira susunan bertertib r pemilihan dari n pilihan apabila ulangan dibenarkan pada setiap kedudukan. Formula ialah n dinaikkan kepada kuasa r, kerana setiap daripada r kedudukan secara bebas mempunyai semua n pilihan tersedia.
Kira pemilihan bertertib yang membenarkan ulangan
Berbeza dengan permutasi biasa, yang mengeluarkan item dari kolam setelah dipilih, permutasi dengan penggantian memulangkan setiap item ke kolam selepas setiap pilih. Memilih PIN 4 digit di mana setiap digit berjalan dari 0 hingga 9 dan digit boleh berulang ialah masalah permutasi-dengan-penggantian: 10 pilihan untuk setiap daripada 4 kedudukan memberi 10^4, sama dengan 10,000 PIN mungkin.
Peroleh formula dari pilihan bebas
Setiap daripada r kedudukan dalam susunan dengan-penggantian mempunyai tepat n pilihan, bebas daripada apa yang dipilih pada mana-mana kedudukan lain, kerana tiada apa dikeluarkan dari kolam. Mendarab n dengan dirinya r kali, sekali untuk setiap kedudukan bebas, memberi n^r sebagai jumlah kiraan.
Kalkulator Permutasi dengan Penggantian menunjukkan ini sebagai eksponen tunggal dan bukannya rantai faktor mengecut, yang ialah perbezaan utama dari permutasi biasa.
Kerja melalui contoh kata laluan
Kata laluan 3 aksara dilukis dari 26 huruf besar, dengan ulangan dibenarkan, mempunyai 26^3 nilai mungkin. Kira 26 × 26 = 676, kemudian 676 × 26 = 17,576. Kalkulator Permutasi dengan Penggantian melaporkan 17,576 terus dan menunjukkan bentuk eksponen 26^3 di sebelahnya, supaya hubungan antara formula dan rantai pendaraban kekal kelihatan.
Bandingkan dengan permutasi tanpa penggantian
Permutasi tanpa penggantian untuk n dan r sama menggunakan n! / (n − r)!, yang sentiasa lebih kecil daripada atau sama dengan n^r, kerana mengeluarkan item dipilih dari kolam mengurangkan bilangan pilihan pada setiap kedudukan kemudian.
Untuk n = 5, r = 3: permutasi tanpa penggantian memberi 5 × 4 × 3 = 60, manakala permutasi dengan penggantian memberi 5^3 = 125, lebih daripada dua kali ganda, kerana penggantian mengekalkan setiap pilihan tersedia pada setiap daripada 3 langkah.
Elakkan kesilapan biasa ini
Menggunakan formula tanpa-penggantian untuk masalah yang sebenarnya membenarkan ulangan merendahkan bilangan hasil sebenar. Kunci kombinasi yang membenarkan digit sama berulang merentas kedudukannya memerlukan n^r, bukan n! / (n − r)!.
Baca masalah untuk bahasa seperti "digit boleh berulang" atau "dengan penggantian" sebagai isyarat untuk menggunakan formula eksponen dan bukannya nisbah faktorial.
Kerja melalui contoh plat lesen
Format plat lesen menggunakan 3 huruf diikuti tiada apa lagi, dilukis dari 26 huruf dengan ulangan dibenarkan pada setiap kedudukan, mempunyai 26^3 nilai mungkin. Kira 26 × 26 = 676, kemudian 676 × 26 = 17,576, struktur sama seperti contoh kata laluan di atas tetapi diterapkan kepada konteks pelabelan berbeza.
Kalkulator Permutasi dengan Penggantian mengendalikan mana-mana pasangan n dan r dengan cara ini, kerana matematik asas tidak pernah berubah: hanya bilangan kedudukan bebas dan saiz kolam pada setiap kedudukan penting.
Kenali bahasa dengan-penggantian dalam masalah perkataan
Frasa tertentu dengan pasti menandakan masalah dengan-penggantian: "setiap digit boleh digunakan lebih daripada sekali," "pemilihan dibuat dengan penggantian," "huruf boleh berulang," atau persediaan dunia nyata seperti gulungan dadu, balingan duit syiling, atau pemutar di mana hasil sama boleh berulang secara semula jadi pada percubaan kemudian.
Apabila tiada isyarat ini muncul dan masalah sebaliknya menghuraikan memilih orang, objek, atau item yang "digunakan habis," semak sama ada permutasi biasa atau gabungan lebih sesuai.
Soalan lazim
Apakah formula untuk permutasi dengan penggantian?
Formula untuk permutasi dengan penggantian ialah n^r, di mana n ialah bilangan pilihan tersedia dan r ialah bilangan kedudukan bertertib diisi, dengan ulangan dibenarkan pada setiap kedudukan.
Berapa banyak PIN 4 digit mungkin jika digit boleh berulang?
Jika digit boleh berulang, PIN 4 digit dilukis dari 10 digit mungkin (0 hingga 9) mempunyai 10^4 = 10,000 nilai mungkin.
Apakah bezanya antara permutasi dengan dan tanpa penggantian?
Permutasi tanpa penggantian mengeluarkan setiap item dipilih dari kolam, menggunakan n! / (n − r)!, manakala permutasi dengan penggantian memulangkan setiap item ke kolam, menggunakan n^r. Kiraan dengan-penggantian sentiasa sekurang-kurangnya sama besar.
Bolehkah r lebih besar daripada n dalam permutasi dengan penggantian?
R boleh lebih besar daripada n dalam permutasi dengan penggantian, kerana ulangan bermaksud tiada had atas terikat kepada saiz kolam. Kod 5 aksara dari abjad 3 huruf, dengan ulangan, mempunyai 3^5 = 243 nilai mungkin.
Berapa banyak kata laluan 3 huruf mungkin dari 26 huruf dengan ulangan dibenarkan?
Dengan ulangan dibenarkan, kata laluan 3 huruf dari 26 huruf mempunyai 26^3 = 17,576 nilai mungkin, dikira sebagai 26 × 26 × 26.
Adakah menggulung dadu 3 kali masalah permutasi-dengan-penggantian?
Menggulung dadu 3 kali dan merekod jujukan bertertib hasil ialah masalah permutasi-dengan-penggantian, kerana setiap gulungan secara bebas mempunyai 6 hasil tanpa mengira gulungan sebelumnya: 6^3 = 216 jujukan bertertib mungkin.
Berapa banyak kod plat lesen 3 huruf mungkin dari 26 huruf dengan ulangan?
Dengan ulangan dibenarkan, kod 3 huruf dilukis dari 26 huruf mempunyai 26^3 = 17,576 nilai mungkin, pengiraan sama digunakan untuk contoh kata laluan, kerana kedua-dua masalah berkongsi struktur n = 26, r = 3 yang sama.
Apa yang berlaku jika n atau r dimasukkan sebagai sifar?
Jika r dimasukkan sebagai sifar, hasil ialah n^0 = 1, kerana tepat ada satu cara untuk mengisi sifar kedudukan: tidak buat apa-apa. Jika n dimasukkan sebagai sifar sementara r positif, hasil ialah 0, kerana tiada pilihan tersedia untuk mengisi mana-mana kedudukan.
Kerja melalui contoh balingan duit syiling
Membaling duit syiling 5 kali dan merekod jujukan bertertib kepala dan ekor ialah masalah permutasi-dengan-penggantian dengan n = 2 dan r = 5: 2^5 = 32 jujukan bertertib mungkin, kerana setiap balingan secara bebas mempunyai 2 hasil tanpa mengira balingan sebelumnya.
Ringkasan
Kalkulator Permutasi dengan Penggantian menerapkan n^r untuk mengira susunan bertertib di mana ulangan dibenarkan pada setiap kedudukan, merawat setiap daripada r kedudukan sebagai pilihan bebas antara n pilihan. Masukkan n dan r untuk mendapat kiraan tepat, dan jangkakan ia melebihi permutasi tanpa-penggantian sepadan apabila ulangan benar-benar mengembangkan set hasil sah.