Gabungan dengan Kalkulator Gantian mengira pilihan r item daripada n pilihan yang tersedia apabila ulangan dibenarkan dan pesanan tidak penting. Formula yang digunakan ialah C(n + r − 1, r), yang biasa dipanggil bintang dan bar, dan alat menunjukkan gabungan yang dialihkan bersama kiraan akhir.
Kira pilihan yang membenarkan ulangan
Kombinasi biasa melarang memilih item yang sama dua kali; gabungan dengan penggantian angkat sekatan itu. Memilih 3 sudu aiskrim daripada 5 perisa yang tersedia, di mana mana-mana perisa boleh berulang, adalah masalah gabungan-dengan-penggantian, bukan masalah gabungan biasa, kerana pelanggan boleh memesan tiga sudu perisa yang sama.
Kiraan ialah C(5 + 3 − 1, 3), iaitu C(7, 3), bersamaan dengan 35 pesanan berbeza.
Fahami kaedah bintang dan palang
Kaedah bintang dan bar menukarkan pilihan gantian kepada gabungan biasa dengan memasukkan n − 1 pembahagi antara r item yang dipilih. Gambar r bintang mewakili item yang dipilih dan n − 1 bar memisahkannya ke dalam n tong sampah, satu tong bagi setiap pilihan.
Menyusun r bintang dan n − 1 bar berturut-turut mempunyai C(r + n − 1, r) jumlah susunan, kerana memilih kedudukan r + n − 1 yang memegang bintang menentukan keseluruhan reka letak.
Bekerja melalui contoh perisa langkah demi langkah
Dengan n = 5 perisa dan r = 3 sudu, gabungan beralih ialah C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, ⟦).T Kembangkan C(7, 3) sebagai 7! / (3! × 4!), iaitu (7 × 6 × 5) / (3) / (3) / (3) 2 × 1), sama dengan 210 / 6, atau 35.
Gabungan dengan Kalkulator Penggantian mencetak pengembangan tepat ini, jadi peralihan daripada n dan r kepada gabungan kerja C(7, 3) bukanlah satu langkah yang tersembunyi.
Bandingkan dengan gabungan biasa
Gabungan biasa tanpa penggantian n = 5 dan r = 3 yang sama ialah C(5, 3), sama dengan 10, kerana setiap perisa hanya boleh dipilih sekali.
Kiraan dengan penggantian 35 sentiasa sekurang-kurangnya sama besarnya dengan kiraan tanpa penggantian untuk n dan r yang sama, kerana membenarkan ulangan hanya menambah pilihan yang lebih sah, tidak pernah mengalih keluar sebarang.
Bekerja melalui contoh pemilihan yang lebih besar
Memilih topping 4 daripada 6 pilihan yang tersedia, di mana topping yang sama boleh dipilih lebih daripada sekali dan pesanan tidak penting, menggunakan n = 6 dan r = 4: C(6 + 4 − ⟧,− ⟧) = T6 C(9, 4).
Kembangkan C(9, 4) sebagai 9! / (4! × 5!), iaitu (9 × 8 × 7 × ⟦T8 (⟧ ⟦T8) × 3 × 2 × 1), sama dengan 3024 / 24, atau 126 Gabungan dengan Kalkulator Gantian menunjukkan jujukan anjakan dan kembang yang sama ini untuk sebarang n dan r yang dimasukkan.
Mengenal bahasa penggantian dalam masalah perkataan
Masalah perkataan yang membenarkan pengulangan biasanya menggunakan frasa seperti "dengan pengulangan," "mungkin berulang," "dengan penggantian" atau menerangkan senario seperti memesan makanan yang item yang sama boleh dipilih lebih daripada sekali.
Mengesan bahasa ini sebelum memilih formula mengelakkan daripada mencapai formula gabungan biasa secara lalai, kerana formula biasa secara senyap menganggap setiap item boleh dipilih paling banyak sekali.
Elakkan kesilapan biasa ini
Ralat yang paling biasa menggunakan formula gabungan biasa C(n, r) kepada masalah dengan penggantian, mengurangkan bilangan pilihan sebenar.
Satu lagi kesilapan yang kerap menganjak n dan r dengan cara yang salah, mengira C(n + r − 1, n) dan bukannya C(n + r − 1, r); kedua-dua ungkapan adalah sama secara berangka oleh simetri gabungan, jadi gelinciran tertentu ini berlaku masih berfungsi, tetapi mengelirukan nilai mana yang masuk ke kedudukan teratas (r atau n − 1) tidak.
Soalan lazim
Apakah formula untuk kombinasi dengan penggantian?
Formula untuk kombinasi dengan penggantian ialah C(n + r − 1, r), dengan n ialah bilangan pilihan yang tersedia dan r ialah bilangan item yang dipilih, dengan ulangan dibenarkan dan pesanan tidak penting.
Berapa banyak cara anda boleh memilih 3 sudu daripada 5 perisa dengan pengulangan dibenarkan?
Memilih 3 sudu daripada 5 perisa dengan ulangan dibenarkan memberikan C(5 + 3 − 1, 3) = C(7. 3. 3, 3.
Apakah perbezaan antara gabungan dengan dan tanpa penggantian?
Gabungan tanpa penggantian melarang memilih item yang sama dua kali dan menggunakan C(n, r), manakala gabungan dengan penggantian membenarkan pengulangan dan menggunakan formula dianjak C(n + r − 1, r), yang sentiasa mengembalikan hasil sekurang-kurangnya sama besar.
Apakah kaedah bintang dan palang?
Kaedah bintang dan bar memodelkan pemilihan penggantian apabila bintang r berpecah kepada n kumpulan dengan n − 1 bar, menukar masalah pengiraan kepada gabungan biasa C(n + r − 1, r) kedudukan bintang dan bar.
Adakah pesanan penting dalam kombinasi dengan penggantian?
Pesanan tidak penting dalam kombinasi dengan penggantian; memilih 2 epal dan 1 pisang dikira sebagai satu hasil tanpa mengira susunan item dipilih. Apabila pesanan itu penting dan ulangan dibenarkan, kiraan sebaliknya menggunakan n dinaikkan kepada kuasa r.
Bolehkah r lebih besar daripada n dalam kombinasi dengan penggantian?
R boleh lebih besar daripada n dalam kombinasi dengan penggantian, tidak seperti gabungan biasa, kerana ulangan membolehkan anda memilih lebih banyak item daripada pilihan yang berbeza. Memilih 10 sudu daripada 3 perisa adalah sah dan dikira sebagai C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, ⟦) = 12, ⟦) = ⟦T7.
Berapa banyak cara anda boleh memilih 4 topping daripada 6 dengan ulangan dibenarkan?
Memilih topping 4 daripada 6 dengan ulangan dibenarkan memberikan C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 6 + 4 − 1, 4) = C(9, 126.⟧), yang sama dengan kombinasi
Apakah frasa dalam kombinasi isyarat masalah perkataan dengan penggantian?
Frasa seperti "mungkin berulang," "dengan penggantian," "pengulangan dibenarkan," atau senario yang menerangkan memilih pilihan yang sama berbilang kali, seperti memesan berbilang sudu perisa aiskrim yang sama, semuanya memberi isyarat bahawa gabungan dengan penggantian, bukan formula gabungan biasa, diperlukan.
Ringkasan
Gabungan dengan Kalkulator Gantian menggunakan C(n + r − 1, r) untuk mengira pilihan yang membenarkan item berulang apabila pesanan tidak penting, menggunakan kaedah bintang dan bar untuk mewajarkan formula yang dialihkan.
Masukkan bilangan pilihan n dan saiz pemilihan r untuk mendapatkan kiraan yang tepat, dengan peralihan kepada C(n + r − 1, r) dan pengembangan faktorialnya ditunjukkan dalam panel kerja.