تحسب المجموعات باستخدام الحاسبة البديلة تحديدات العناصر r من الخيارات المتاحة n عندما يكون التكرار مسموحًا به ولا يهم الطلب. الصيغة التي تطبقها هي C(n + r − 1, r)، والتي تسمى عادة النجوم والأشرطة، وتعرض الأداة المجموعة المتغيرة جنبًا إلى جنب مع العدد النهائي.
عد التحديدات التي تسمح بالتكرار
المجموعات العادية تمنع اختيار نفس العنصر مرتين؛ تركيبات مع استبدال رفع هذا القيد. اختيار 3 مغارف الآيس كريم من 5 النكهات المتوفرة، حيث يمكن لأي نكهة أن تتكرر، هي مشكلة تركيبات مع استبدال، وليست مشكلة تركيبات عادية، لأنه يمكن للعميل طلب ثلاث مغارف من نفس النكهة.
العدد هو C(5 + 3 − 1, 3)، وهو C(7, 3)، يساوي 35 أوامر مميزة.
فهم طريقة النجوم والأشرطة
تقوم طريقة النجوم والأشرطة بتحويل التحديد مع الاستبدال إلى مجموعة عادية عن طريق إدراج فواصل n − 1 بين العناصر المحددة r. صورة r نجوم تمثل العناصر المختارة وأشرطة n − 1 تفصلها في صناديق n، حاوية واحدة لكل خيار.
ترتيب r النجوم و n − 1 القضبان في صف لديه C(r + n − 1, r) ترتيبات إجمالية، نظرًا لأن اختيار أي من r + n − 1 المواضع التي تحتوي على النجوم يحدد التخطيط بأكمله.
اعمل من خلال مثال النكهة خطوة بخطوة
مع ن = 5 النكهات و r = 3 المجارف، المجموعة المتحولة هي C(5 + 3 − 1، 3) = C(7، 3). قم بتوسيع C(7، 3) ليصبح 7! / (3! × 4!)، وهي (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1)، يساوي 210 / 6 أو 35.
تطبع المجموعات التي تحتوي على حاسبة الاستبدال هذا التوسيع الدقيق، وبالتالي فإن التحول من n وr إلى مجموعة العمل C(7, 3) لا يعد خطوة مخفية أبدًا.
قارن مع المجموعات العادية
المجموعات العادية بدون استبدال لنفس n = 5 وr = 3 ستكون C(5، 3)، تساوي 10، حيث لا يمكن اختيار كل نكهة إلا مرة واحدة.
يكون عدد الاستبدال لـ 35 دائمًا كبيرًا على الأقل مثل عدد بدون الاستبدال لنفس n وr، لأن السماح بالتكرارات يضيف فقط المزيد من التحديدات الصالحة، ولا يزيل أيًا منها أبدًا.
العمل من خلال مثال اختيار أكبر
اختيار 4 الطبقة من الخيارات المتاحة 6، حيث يمكن اختيار نفس الطبقة أكثر من مرة ولا يهم الترتيب، يستخدم n = 6 وr = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9، 4).
قم بتوسيع C(9، 4) ليصبح 9! / (4! × 5!)، وهي (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1)، متساوية إلى 3024 / 24 أو 126. تُظهر المجموعات التي تحتوي على حاسبة الاستبدال نفس تسلسل النقل والتوسيع لأي n وr تم إدخالهما.
التعرف على لغة الاستبدال في المسألة اللفظية
عادةً ما تستخدم المشكلات اللفظية التي تسمح بالتكرار عبارات مثل "مع التكرار" أو "قد يتكرر" أو "مع الاستبدال" أو تصف سيناريو مثل طلب الطعام حيث يمكن اختيار نفس العنصر أكثر من مرة.
يؤدي اكتشاف هذه اللغة قبل اختيار الصيغة إلى تجنب الوصول إلى الصيغة المركبة البسيطة افتراضيًا، نظرًا لأن الصيغة البسيطة تفترض بصمت أنه يمكن اختيار كل عنصر مرة واحدة على الأكثر.
تجنب هذا الخطأ الشائع
الخطأ الأكثر شيوعًا هو تطبيق الصيغة المركبة البسيطة C(n, r) على مشكلة الاستبدال، مما يقلل من العدد الحقيقي للتحديدات.
هناك خطأ شائع آخر ينقل n وr بطريقة خاطئة، حيث يتم حساب C(n + r − 1, n) بدلاً من C(n + r − 1, r); كلا التعبيرين متساويان عدديًا من خلال تماثل المجموعات، لذا فإن هذا الانزلاق المعين لا يزال يعمل، لكن الخلط بين القيمة التي تذهب إلى الموضع العلوي (r أو n − 1) لا يحدث ذلك.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة التركيبات مع الاستبدال؟
صيغة التركيبات مع الاستبدال هي C(n + r − 1, r)، حيث n هو عدد الخيارات المتاحة وr هو عدد العناصر المحددة، مع السماح بالتكرار وعدم أهمية الترتيب.
بكم طريقة يمكنك اختيار مغارف 3 من نكهات 5 مع التكرار المسموح به؟
اختيار مغارف 3 من نكهات 5 مع التكرارات المسموح بها يعطي C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3)، وهو ما يساوي 35 مجموعات مميزة.
ما الفرق بين المجموعات مع وبدون استبدال؟
تمنع المجموعات بدون استبدال تحديد نفس العنصر مرتين واستخدام C(n, r)، بينما تسمح المجموعات مع الاستبدال بالتكرار واستخدام الصيغة المتغيرة C(n + r − 1, r)، والتي تُرجع دائمًا نتيجة كبيرة على الأقل.
ما هي طريقة النجوم والحانات؟
تصمم طريقة النجوم والأشرطة اختيارًا مع الاستبدال حيث تنقسم نجوم r إلى مجموعات n بواسطة أشرطة n − 1، مما يحول مشكلة العد إلى مجموعة عادية C(n + r − 1, r) من مواضع النجمة والشريط.
هل الترتيب مهم في مجموعات مع الاستبدال؟
الترتيب لا يهم في مجموعات مع الاستبدال؛ اختيار 2 تفاح و1 موز يعتبر نتيجة واحدة بغض النظر عن الترتيب الذي تم اختيار العناصر به. عندما يكون الترتيب مهمًا ويسمح بالتكرار، يستخدم العد بدلاً من ذلك n مرفوعًا للأس r.
هل يمكن أن يكون r أكبر من n في مجموعات مع الاستبدال؟
يمكن أن يكون R أكبر من n في المجموعات مع الاستبدال، على عكس المجموعات العادية، لأن التكرارات تجعل من الممكن تحديد عناصر أكثر من الخيارات المميزة. يعد اختيار مجارف 10 من نكهات 3 صالحًا ويتم حسابه كـ C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
كم طريقة يمكنك اختيار 4 الإضافات من 6 مع السماح بالتكرار؟
اختيار 4 الطبقة من 6 مع التكرارات المسموح بها يعطي C(6 + 4 − 1، 4) = C(9، 4)، والذي يساوي 126 مميز مجموعات.
ما العبارات في مشكلة كلمة تشير إلى مجموعات مع الاستبدال؟
عبارات مثل "قد يتكرر"، أو "مع الاستبدال"، أو "التكرار مسموح به"، أو سيناريو يصف تحديد نفس الخيار عدة مرات، مثل طلب مغارف متعددة من نفس نكهة الآيس كريم، كلها تشير إلى أن هناك حاجة إلى التركيبات مع الاستبدال، وليس تركيبة التركيبة البسيطة.
ملخص
تطبق المجموعات التي تحتوي على حاسبة الاستبدال C(n + r − 1, r) لحساب التحديدات التي تسمح بالعناصر المتكررة عندما لا يكون الترتيب مهمًا، وذلك باستخدام طريقة النجوم والأشرطة لتبرير الصيغة المتغيرة.
أدخل عدد الخيارات n وحجم التحديد r للحصول على العدد الدقيق، مع الانتقال إلى C(n + r − 1, r) وتوسيع عامله الموضح في لوحة العمل.