Kombinationskalkylator med återläggning räknar urval av r föremål från n tillgängliga alternativ när upprepningar är tillåtna och ordning inte spelar roll. Formeln den tillämpar är C(n + r − 1, r), vanligen kallad stjärnor och streck, och verktyget visar den förskjutna kombinationen tillsammans med det slutliga antalet.
Räkna urval som tillåter upprepningar
Vanliga kombinationer förbjuder att välja samma föremål två gånger; kombinationer med återläggning lyfter den begränsningen. Att välja 3 kulor glass från 5 tillgängliga smaker, där vilken smak som helst kan upprepas, är ett kombinationsproblem med återläggning, inte ett vanligt kombinationsproblem, eftersom en kund kan beställa tre kulor av samma smak.
Antalet är C(5 + 3 − 1, 3), vilket är C(7, 3), lika med 35 distinkta beställningar.
Förstå metoden stjärnor och streck
Metoden stjärnor och streck omvandlar ett urval med återläggning till en vanlig kombination genom att sätta in n − 1 delare bland r valda föremål. Föreställ dig r stjärnor som representerar de valda föremålen och n − 1 streck som delar dem i n fack, ett fack per alternativ.
Att arrangera r stjärnor och n − 1 streck i en rad har C(r + n − 1, r) totala arrangemang, eftersom att välja vilka av de r + n − 1 positionerna som håller stjärnor bestämmer hela layouten.
Räkna igenom smakexemplet steg för steg
Med n = 5 smaker och r = 3 kulor är den förskjutna kombinationen C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Expandera C(7, 3) som 7! / (3! × 4!), vilket är (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), lika med 210 / 6, eller 35.
Kombinationskalkylator med återläggning skriver ut den exakta expansionen, så förskjutningen från n och r till arbetskombinationen C(7, 3) aldrig blir ett dolt steg.
Jämför med vanliga kombinationer
Vanliga kombinationer utan återläggning för samma n = 5 och r = 3 skulle vara C(5, 3), lika med 10, eftersom varje smak bara kan väljas en gång.
Antalet med återläggning på 35 är alltid minst lika stort som antalet utan återläggning för samma n och r, eftersom att tillåta upprepningar bara lägger till fler giltiga urval, aldrig tar bort några.
Räkna igenom ett större urvalsexempel
Att välja 4 pålägg från 6 tillgängliga alternativ, där samma pålägg kan väljas mer än en gång och ordning inte spelar roll, använder n = 6 och r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Expandera C(9, 4) som 9! / (4! × 5!), vilket är (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), lika med 3024 / 24, eller 126. Kombinationskalkylator med återläggning visar samma förskjut-och-expandera-sekvens för vilka n och r som anges.
Känn igen språk för återläggning i en textuppgift
Textuppgifter som tillåter upprepningar använder typiskt fraser som "med upprepning", "får upprepas", "med återläggning" eller beskriver ett scenario som att beställa mat där samma vara kan väljas mer än en gång.
Att se det språket innan du väljer formel undviker att nå efter den vanliga kombinationsformeln som standard, eftersom den vanliga formeln tyst antar att varje föremål kan väljas högst en gång.
Undvik det här vanliga misstaget
Det vanligaste felet tillämpar den vanliga kombinationsformeln C(n, r) på ett problem med återläggning och underräknar det sanna antalet urval.
Ett annat vanligt misstag förskjuter n och r åt fel håll och beräknar C(n + r − 1, n) i stället för C(n + r − 1, r); båda uttrycken är numeriskt lika genom kombinationers symmetri, så just det felet råkar fortfarande fungera, men att blanda ihop vilket värde som går i den övre positionen (r eller n − 1) gör det inte.
Vanliga frågor
Vad är formeln för kombinationer med återläggning?
Formeln för kombinationer med återläggning är C(n + r − 1, r), där n är antalet tillgängliga alternativ och r är antalet valda föremål, med upprepningar tillåtna och ordning utan betydelse.
På hur många sätt kan man välja 3 kulor från 5 smaker med upprepningar tillåtna?
Att välja 3 kulor från 5 smaker med upprepningar tillåtna ger C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), vilket är lika med 35 distinkta kombinationer.
Vad är skillnaden mellan kombinationer med och utan återläggning?
Kombinationer utan återläggning förbjuder att välja samma föremål två gånger och använder C(n, r), medan kombinationer med återläggning tillåter upprepningar och använder den förskjutna formeln C(n + r − 1, r), som alltid returnerar ett resultat som är minst lika stort.
Vad är metoden stjärnor och streck?
Metoden stjärnor och streck modellerar ett urval med återläggning som r stjärnor delade i n grupper av n − 1 streck, och omvandlar räkningsproblemet till en vanlig kombination C(n + r − 1, r) av stjärn-och-streck-positioner.
Spelar ordning roll i kombinationer med återläggning?
Ordning spelar ingen roll i kombinationer med återläggning; att välja 2 äpplen och 1 banan räknas som ett utfall oavsett i vilken ordning föremålen valdes. När ordning spelar roll och upprepningar är tillåtna använder antalet i stället n upphöjt till r.
Kan r vara större än n i kombinationer med återläggning?
R kan vara större än n i kombinationer med återläggning, till skillnad från vanliga kombinationer, eftersom upprepningar gör det möjligt att välja fler föremål än det finns distinkta alternativ. Att välja 10 kulor från 3 smaker är giltigt och beräknas som C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
På hur många sätt kan man välja 4 pålägg från 6 med upprepningar tillåtna?
Att välja 4 pålägg från 6 med upprepningar tillåtna ger C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), vilket är lika med 126 distinkta kombinationer.
Vilka fraser i en textuppgift signalerar kombinationer med återläggning?
Fraser som "får upprepas", "med återläggning", "upprepning tillåten" eller ett scenario som beskriver att välja samma alternativ flera gånger, till exempel att beställa flera kulor av samma glassmak, signalerar alla att kombinationer med återläggning, inte den vanliga kombinationsformeln, behövs.
Sammanfattning
Kombinationskalkylator med återläggning tillämpar C(n + r − 1, r) för att räkna urval som tillåter upprepade föremål när ordning inte spelar roll, och använder metoden stjärnor och streck för att motivera den förskjutna formeln.
Ange antalet alternativ n och urvalsstorleken r för att få det exakta antalet, med förskjutningen till C(n + r − 1, r) och dess faktoriella expansion båda visade i arbetsrutan.