Kombinasi dengan Kalkulator Penggantian menghitung pilihan r item dari n opsi yang tersedia ketika pengulangan diperbolehkan dan urutan tidak menjadi masalah. Rumus yang diterapkan adalah C(n + r − 1, r), biasa disebut bintang dan batang, dan alat ini menunjukkan kombinasi yang digeser bersamaan dengan penghitungan akhir.
Hitung pilihan yang memungkinkan pengulangan
Kombinasi biasa melarang pengambilan item yang sama dua kali; kombinasi dengan penggantian menghilangkan batasan itu. Memilih 3 sendok es krim dari 5 rasa yang tersedia, di mana rasa apa pun dapat terulang, merupakan masalah kombinasi-dengan-pengganti, bukan masalah kombinasi biasa, karena pelanggan dapat memesan tiga sendok es krim dengan rasa yang sama.
Hitungannya adalah C(5 + 3 − 1, 3), yaitu C(7, 3), sama dengan 35 ordo berbeda.
Pahami metode bintang dan batang
Metode bintang dan batang mengubah pilihan dengan penggantian menjadi kombinasi biasa dengan menyisipkan n − 1 pembagi di antara r item yang dipilih. Gambarkan r bintang yang mewakili item yang dipilih dan n − 1 batang yang memisahkannya menjadi n wadah, satu wadah untuk setiap opsi.
Menyusun r bintang dan n − 1 batang berturut-turut memiliki susunan total C(r + n − 1, r), karena memilih posisi mana di antara r + n − 1 yang menahan bintang akan menentukan keseluruhan tata letak.
Kerjakan contoh rasa langkah demi langkah
Dengan n = 5 rasa dan r = 3 sendok, kombinasi yang digeser adalah C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Luaskan C(7, 3) menjadi 7! / (3! × 4!), yaitu (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), sama dengan 210 / 6, atau 35.
Kombinasi dengan Kalkulator Pengganti mencetak perluasan yang tepat ini, sehingga peralihan dari n dan r ke kombinasi kerja C(7, 3) bukanlah langkah tersembunyi.
Bandingkan dengan kombinasi biasa
Kombinasi biasa tanpa penggantian n = 5 dan r = 3 yang sama akan menjadi C(5, 3), sama dengan 10, karena setiap rasa hanya dapat dipetik satu kali.
Hitungan dengan penggantian 35 setidaknya selalu sama besar dengan jumlah tanpa penggantian untuk n dan r yang sama, karena mengizinkan pengulangan hanya menambah pilihan yang lebih valid, tidak pernah menghapus satu pun.
Kerjakan contoh seleksi yang lebih besar
Memilih 4 topping dari 6 pilihan yang tersedia, dimana topping yang sama dapat dipilih lebih dari satu kali dan urutan tidak menjadi masalah, menggunakan n = 6 dan r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Luaskan C(9, 4) menjadi 9! / (4! × 5!), yaitu (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), sama dengan 3024 / 24, atau 126. Kombinasi dengan Kalkulator Pengganti menunjukkan urutan shift-and-expand yang sama untuk setiap n dan r yang dimasukkan.
Mengenali bahasa pengganti dalam suatu soal kata
Soal kata yang memungkinkan pengulangan biasanya menggunakan frasa seperti "dengan pengulangan", "dapat diulang", "dengan penggantian", atau menggambarkan skenario seperti memesan makanan di mana item yang sama dapat dipilih lebih dari satu kali.
Menemukan bahasa ini sebelum memilih rumus akan menghindari penggunaan rumus kombinasi biasa secara default, karena rumus biasa secara diam-diam mengasumsikan setiap item dapat dipilih paling banyak satu kali.
Hindari kesalahan umum ini
Kesalahan yang paling umum adalah menerapkan rumus kombinasi sederhana C(n, r) pada soal dengan penggantian, sehingga jumlah pilihan yang sebenarnya dihitung terlalu rendah.
Kesalahan umum lainnya adalah menggeser n dan r ke arah yang salah, dengan menghitung C(n + r − 1, n) alih-alih C(n + r − 1, r); kedua ekspresi secara numerik sama dengan kombinasi simetri, sehingga slip khusus ini masih berfungsi, tetapi tidak membingungkan nilai mana yang berada di posisi teratas (r atau n − 1).
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus kombinasi dengan penggantian?
Rumus untuk kombinasi dengan penggantian adalah C(n + r − 1, r), dengan n adalah jumlah opsi yang tersedia dan r adalah jumlah item yang dipilih, dengan pengulangan diperbolehkan dan urutan tidak menjadi masalah.
Berapa banyak cara Anda dapat memilih sendok 3 dari rasa 5 dengan pengulangan yang diperbolehkan?
Memilih sendok 3 dari rasa 5 dengan pengulangan diperbolehkan menghasilkan C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), yang sama dengan 35 kombinasi berbeda.
Apa perbedaan antara kombinasi dengan dan tanpa penggantian?
Kombinasi tanpa penggantian melarang pemilihan item yang sama dua kali dan menggunakan C(n, r), sedangkan kombinasi dengan penggantian memungkinkan pengulangan dan menggunakan rumus yang digeser C(n + r − 1, r), yang selalu mengembalikan hasil setidaknya sama besar.
Apa metode bintang dan batang?
Metode bintang dan batang memodelkan pemilihan dengan penggantian ketika r bintang dibagi menjadi n grup sebanyak n − 1 batang, mengubah soal penghitungan menjadi kombinasi biasa C(n + r − 1, r) posisi bintang dan batang.
Apakah urutan penting jika digabungkan dengan penggantian?
Urutan tidak menjadi masalah jika dikombinasikan dengan penggantian; memilih 2 apel dan 1 pisang dihitung sebagai satu hasil, apa pun urutan item yang dipilih. Jika urutan memang penting dan pengulangan diperbolehkan, penghitungannya menggunakan n yang dipangkatkan r.
Bisakah r lebih besar dari n jika dikombinasikan dengan penggantian?
R bisa lebih besar dari n dalam kombinasi dengan penggantian, tidak seperti kombinasi biasa, karena pengulangan memungkinkan untuk memilih lebih banyak item daripada pilihan yang berbeda. Memilih sendok 10 dari rasa 3 valid dan dihitung sebagai C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
Berapa banyak cara Anda dapat memilih topping 4 dari 6 dengan pengulangan diperbolehkan?
Memilih 4 topping dari 6 dengan pengulangan yang diizinkan menghasilkan C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), yang sama dengan 126 kombinasi berbeda.
Frasa apa dalam sebuah masalah kata yang menandakan kombinasi dengan penggantian?
Frasa seperti "boleh diulang", "dengan penggantian", "pengulangan diperbolehkan", atau skenario yang menjelaskan pemilihan opsi yang sama beberapa kali, seperti memesan beberapa sendok es krim dengan rasa yang sama, semuanya menandakan bahwa diperlukan kombinasi dengan penggantian, bukan formula kombinasi biasa.
Ringkasan
Kombinasi dengan Kalkulator Penggantian menerapkan C(n + r − 1, r) untuk menghitung pilihan yang memungkinkan item diulang ketika urutan tidak menjadi masalah, menggunakan metode bintang dan batang untuk membenarkan rumus yang digeser.
Masukkan jumlah opsi n dan ukuran pilihan r untuk mendapatkan hitungan pastinya, dengan pergeseran ke C(n + r − 1, r) dan perluasan faktorialnya, keduanya ditampilkan di panel kerja.