Il calcolatore permutazioni con ripetizione conta disposizioni ordinate di r selezioni tra n opzioni quando le ripetizioni sono permesse a ogni posizione. La formula è n elevato alla potenza r, poiché ciascuna delle r posizioni ha indipendentemente tutte le n opzioni disponibili.
Conta selezioni ordinate che permettono ripetizioni
A differenza delle permutazioni ordinarie, che rimuovono un elemento dal pool una volta scelto, le permutazioni con ripetizione restituiscono ogni elemento al pool dopo ogni scelta. Scegliere un PIN a 4 cifre dove ogni cifra va da 0 a 9 e le cifre possono ripetersi è un problema di permutazioni con ripetizione: 10 opzioni per ciascuna delle 4 posizioni dà 10^4, uguale a 10.000 PIN possibili.
Deriva la formula da scelte indipendenti
Ciascuna delle r posizioni in una disposizione con ripetizione ha esattamente n scelte, indipendentemente da cosa è stato scelto in qualsiasi altra posizione, perché nulla viene rimosso dal pool. Moltiplicare n per se stesso r volte, una per ogni posizione indipendente, dà n^r come conteggio totale.
Il calcolatore permutazioni con ripetizione mostra questo come singola elevazione a potenza piuttosto che catena di fattori decrescenti, che è la differenza chiave dalle permutazioni ordinarie.
Risolvi un esempio di password
Una password di 3 caratteri tratto da 26 lettere maiuscole, con ripetizioni permesse, ha 26^3 valori possibili. Calcola 26 × 26 = 676, poi 676 × 26 = 17.576. Il calcolatore permutazioni con ripetizione riporta 17.576 direttamente e mostra la forma esponenziale 26^3 accanto, così la connessione tra formula e catena di moltiplicazione resta visibile.
Confronta con permutazioni senza ripetizione
Le permutazioni senza ripetizione per gli stessi n e r usano n! / (n − r)!, che è sempre minore o uguale a n^r, poiché rimuovere elementi scelti dal pool riduce le opzioni a ogni posizione successiva.
Per n = 5, r = 3: permutazioni senza ripetizione danno 5 × 4 × 3 = 60, mentre permutazioni con ripetizione danno 5^3 = 125, più del doppio, perché la ripetizione mantiene ogni opzione disponibile a ciascuno dei 3 passi.
Evita questo errore comune
Usare la formula senza ripetizione per un problema che in realtà permette ripetizioni sottoconta il vero numero di esiti. Una combinazione che permette la stessa cifra nelle posizioni serve n^r, non n! / (n − r)!.
Leggi il problema per linguaggio come "le cifre possono ripetersi" o "con ripetizione" come segnale per usare la formula esponenziale piuttosto che il rapporto fattoriale.
Risolvi un esempio di targa
Un formato targa con 3 lettere seguite da nient'altro, tratto da 26 lettere con ripetizioni permesse a ogni posizione, ha 26^3 valori possibili. Calcola 26 × 26 = 676, poi 676 × 26 = 17.576, la stessa struttura dell'esempio password sopra ma applicata a un contesto di etichettatura diverso.
Il calcolatore permutazioni con ripetizione gestisce qualsiasi coppia n e r così, poiché la matematica sottostante non cambia mai: contano solo il numero di posizioni indipendenti e la dimensione del pool a ogni posizione.
Riconosci il linguaggio con ripetizione in un problema verbale
Certe frasi segnalano affidabilmente un problema con ripetizione: "ogni cifra può essere usata più di una volta", "le selezioni avvengono con ripetizione", "la lettera può ripetersi", o una configurazione reale come lancio di dado, flip di moneta o spinner dove lo stesso esito può ricorrere naturalmente in una prova successiva.
Quando nessuno di questi segnali appare e il problema descrive invece selezione di persone, oggetti o elementi che vengono "consumati", verifica se permutazioni ordinarie o combinazioni sono la scelta migliore.
Domande frequenti
Qual è la formula per permutazioni con ripetizione?
La formula per permutazioni con ripetizione è n^r, dove n è il numero di opzioni disponibili e r è il numero di posizioni ordinate da riempire, con ripetizioni permesse a ogni posizione.
Quanti PIN a 4 cifre sono possibili se le cifre possono ripetersi?
Se le cifre possono ripetersi, un PIN a 4 cifre tratto da 10 cifre possibili (0 a 9) ha 10^4 = 10.000 valori possibili.
Qual è la differenza tra permutazioni con e senza ripetizione?
Le permutazioni senza ripetizione rimuovono ogni elemento scelto dal pool, usando n! / (n − r)!, mentre le permutazioni con ripetizione restituiscono ogni elemento al pool, usando n^r. Il conteggio con ripetizione è sempre almeno altrettanto grande.
r può essere maggiore di n nelle permutazioni con ripetizione?
R può essere maggiore di n nelle permutazioni con ripetizione, poiché le ripetizioni significano che non c'è limite superiore legato alla dimensione del pool. Un codice a 5 caratteri da un alfabeto a 3 lettere, con ripetizioni, ha 3^5 = 243 valori possibili.
Quante password di 3 lettere sono possibili da 26 lettere con ripetizioni permesse?
Con ripetizioni permesse, una password di 3 lettere da 26 lettere ha 26^3 = 17.576 valori possibili, calcolati come 26 × 26 × 26.
Lanciare un dado 3 volte è un problema di permutazioni con ripetizione?
Lanciare un dado 3 volte e registrare la sequenza ordinata dei risultati è un problema di permutazioni con ripetizione, poiché ogni lancio ha indipendentemente 6 esiti indipendentemente dai lanci precedenti: 6^3 = 216 sequenze ordinate possibili.
Quanti codici targa di 3 lettere sono possibili da 26 lettere con ripetizioni?
Con ripetizioni permesse, un codice a 3 lettere tratto da 26 lettere ha 26^3 = 17.576 valori possibili, lo stesso calcolo usato per l'esempio password, poiché entrambi i problemi condividono la stessa struttura n = 26, r = 3.
Cosa succede se n o r è inserito come zero?
Se r è inserito come zero, il risultato è n^0 = 1, poiché c'è esattamente un modo per riempire zero posizioni: non fare nulla. Se n è inserito come zero mentre r è positivo, il risultato è 0, poiché non ci sono opzioni disponibili per riempire alcuna posizione.
Risolvi un esempio di lancio di moneta
Lanciare una moneta 5 volte e registrare la sequenza ordinata di teste e croci è un problema di permutazioni con ripetizione con n = 2 e r = 5: 2^5 = 32 sequenze ordinate possibili, poiché ogni lancio ha indipendentemente 2 esiti indipendentemente dai lanci precedenti.
Riepilogo
Il calcolatore permutazioni con ripetizione applica n^r per contare disposizioni ordinate dove le ripetizioni sono permesse a ogni posizione, trattando ciascuna delle r posizioni come scelta indipendente tra n opzioni. Inserisci n e r per ottenere il conteggio esatto, e aspettati che superi la permutazione corrispondente senza ripetizione quando le ripetizioni espandono genuinamente l'insieme di esiti validi.